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3. 在《九章算术》卷七中有这样一句话：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”大致意思是：现有蒲和莞两种植物，蒲第一日长了3尺，莞第一日长了1尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长长度的一半，莞每日生长的长度是前一日生长长度的2倍.请计算出经过四日生长后蒲和莞的长度.
答案：
解析：本题可根据蒲和莞各自的生长规律分别计算出经过四日生长后它们的长度。
对于蒲，它第一日长$3$尺，以后每日生长的长度是前一日生长长度的一半，这是一个首项$a_1 = 3$，公比$q_1=\frac{1}{2}$的等比数列，可根据等比数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（其中$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数）计算四日生长的长度。
对于莞，它第一日长$1$尺，以后每日生长的长度是前一日生长长度的$2$倍，这是一个首项$b_1 = 1$，公比$q_2 = 2$的等比数列，同样可根据等比数列的前$n$项和公式计算四日生长的长度。
答案：
蒲的长度：
已知蒲第一日长$3$尺，以后每日生长的长度是前一日生长长度的一半，所以蒲每日生长长度构成首项$a_1 = 3$，公比$q_1=\frac{1}{2}$的等比数列。
根据等比数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$，经过四日生长，$n = 4$，则蒲的长度为：
$S_4=\frac{3×\left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^4\right]}{1 - \frac{1}{2}}=\frac{3×\left(1 - \frac{1}{16}\right)}{\frac{1}{2}}=\frac{3×\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}=\frac{45}{8}= 5\frac{5}{8}$（尺）
莞的长度：
已知莞第一日长$1$尺，以后每日生长的长度是前一日生长长度的$2$倍，所以莞每日生长长度构成首项$b_1 = 1$，公比$q_2 = 2$的等比数列。
根据等比数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$，经过四日生长，$n = 4$，则莞的长度为：
$S_4=\frac{1×(2^4 - 1)}{2 - 1}=\frac{16 - 1}{1}= 15$（尺）
综上，经过四日生长后，蒲的长度是$5\frac{5}{8}$尺，莞的长度是$15$尺。
对于蒲，它第一日长$3$尺，以后每日生长的长度是前一日生长长度的一半，这是一个首项$a_1 = 3$，公比$q_1=\frac{1}{2}$的等比数列，可根据等比数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（其中$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数）计算四日生长的长度。
对于莞，它第一日长$1$尺，以后每日生长的长度是前一日生长长度的$2$倍，这是一个首项$b_1 = 1$，公比$q_2 = 2$的等比数列，同样可根据等比数列的前$n$项和公式计算四日生长的长度。
答案：
蒲的长度：
已知蒲第一日长$3$尺，以后每日生长的长度是前一日生长长度的一半，所以蒲每日生长长度构成首项$a_1 = 3$，公比$q_1=\frac{1}{2}$的等比数列。
根据等比数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$，经过四日生长，$n = 4$，则蒲的长度为：
$S_4=\frac{3×\left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^4\right]}{1 - \frac{1}{2}}=\frac{3×\left(1 - \frac{1}{16}\right)}{\frac{1}{2}}=\frac{3×\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}=\frac{45}{8}= 5\frac{5}{8}$（尺）
莞的长度：
已知莞第一日长$1$尺，以后每日生长的长度是前一日生长长度的$2$倍，所以莞每日生长长度构成首项$b_1 = 1$，公比$q_2 = 2$的等比数列。
根据等比数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$，经过四日生长，$n = 4$，则莞的长度为：
$S_4=\frac{1×(2^4 - 1)}{2 - 1}=\frac{16 - 1}{1}= 15$（尺）
综上，经过四日生长后，蒲的长度是$5\frac{5}{8}$尺，莞的长度是$15$尺。
4. 阅读短文：
聪明的高斯
传说，200多年前，在德国的一间小学教室里，老师在黑板上写了一个算式“$1+2+3+4+\cdots+99+100=?$”，然后要求学生计算出结果.有个学生很快算出和是5050.他说：“这个算式有如下规律，$1+100=2+99=3+98=\cdots=50+51$，共有50对这样的数.因此，$1+2+3+4+\cdots+99+100=(1+100)×100÷2=5050$.”这个聪明的学生就是后来成为世界著名数学家的高斯.
运用高斯的想法计算：
$(1-\frac{1}{99})+(1-\frac{2}{99})+(1-\frac{3}{99})+\cdots+(1-\frac{97}{99})+(1-\frac{98}{99})$.
聪明的高斯
传说，200多年前，在德国的一间小学教室里，老师在黑板上写了一个算式“$1+2+3+4+\cdots+99+100=?$”，然后要求学生计算出结果.有个学生很快算出和是5050.他说：“这个算式有如下规律，$1+100=2+99=3+98=\cdots=50+51$，共有50对这样的数.因此，$1+2+3+4+\cdots+99+100=(1+100)×100÷2=5050$.”这个聪明的学生就是后来成为世界著名数学家的高斯.
运用高斯的想法计算：
$(1-\frac{1}{99})+(1-\frac{2}{99})+(1-\frac{3}{99})+\cdots+(1-\frac{97}{99})+(1-\frac{98}{99})$.
答案：
解：原式$=98×1 - \left(\frac{1}{99}+\frac{2}{99}+\cdots+\frac{98}{99}\right)$
$=98 - \frac{1+2+\cdots+98}{99}$
$=98 - \frac{(1+98)×98÷2}{99}$
$=98 - \frac{99×49}{99}$
$=98 - 49$
$=49$
$=98 - \frac{1+2+\cdots+98}{99}$
$=98 - \frac{(1+98)×98÷2}{99}$
$=98 - \frac{99×49}{99}$
$=98 - 49$
$=49$
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