《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

11. 解方程：$( 1 - 3 x ) ^ { 2 } + ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 13 ( x - 1 ) ( x + 1 )$。

答案： 【解析】：首先，我们需要将方程两边的式子分别展开并化简。
左边：$(1 - 3x)^2 + (2x - 1)^2$
$\begin{aligned}&= (1 - 6x + 9x^2) + (4x^2 - 4x + 1)\\&= 1 - 6x + 9x^2 + 4x^2 - 4x + 1\\&= (9x^2 + 4x^2) + (-6x - 4x) + (1 + 1)\\&= 13x^2 - 10x + 2\end{aligned}$
右边：$13(x - 1)(x + 1)$，根据平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，可得：
$13(x^2 - 1) = 13x^2 - 13$
将左右两边化简后的式子代入原方程：
$13x^2 - 10x + 2 = 13x^2 - 13$
两边同时减去$13x^2$：
$-10x + 2 = -13$
移项可得：
$-10x = -13 - 2\\-10x = -15$
两边同时除以$-10$：
$x = \frac{-15}{-10} = \frac{3}{2}$
【答案】：$\frac{3}{2}$

12. 关于$x的多项式乘多项式( x ^ { 2 } - 3 x - 2 ) \cdot ( a x + 1 )$,若结果中不含有$x$的一次项,求代数式$( 2 a + 1 ) ^ { 2 } - ( 2 a + 1 ) ( 2 a - 1 )$的值。

答案： 【解析】：首先，将多项式$(x^2 - 3x - 2)(ax + 1)$展开：
$\begin{aligned}&(x^2 - 3x - 2)(ax + 1)\\=&x^2 \cdot ax + x^2 \cdot 1 - 3x \cdot ax - 3x \cdot 1 - 2 \cdot ax - 2 \cdot 1\\=&ax^3 + x^2 - 3ax^2 - 3x - 2ax - 2\\=&ax^3 + (1 - 3a)x^2 + (-3 - 2a)x - 2\end{aligned}$
因为结果中不含有$x$的一次项，所以一次项系数$-3 - 2a = 0$，解得$a = -\frac{3}{2}$。
接下来，计算代数式$(2a + 1)^2 - (2a + 1)(2a - 1)$：
$\begin{aligned}&(2a + 1)^2 - (2a + 1)(2a - 1)\\=&(4a^2 + 4a + 1) - [(2a)^2 - 1^2]\\=&4a^2 + 4a + 1 - (4a^2 - 1)\\=&4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 + 1\\=&4a + 2\end{aligned}$
将$a = -\frac{3}{2}$代入$4a + 2$：
$4 × (-\frac{3}{2}) + 2 = -6 + 2 = -4$
【答案】：-4

13. 若$x ^ { 2 } + x = 1$,求$3 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } + 3 x + 1$的值。

答案： 【解析】：本题考查代数式求值，可利用整体代入的思想。已知$x^2 + x = 1$，需要将所求代数式$3x^4 + 3x^3 + 3x + 1$逐步变形，使其能利用已知条件进行整体代入计算。先对前两项提取公因式$3x^2$，得到$3x^2(x^2 + x) + 3x + 1$，再把$x^2 + x = 1$代入，化简后继续变形，直到求出结果。
【答案】：解：原式$=3x^4 + 3x^3 + 3x + 1$
$=3x^2(x^2 + x) + 3x + 1$
因为$x^2 + x = 1$，所以代入上式得：
$=3x^2×1 + 3x + 1$
$=3x^2 + 3x + 1$
$=3(x^2 + x) + 1$
再将$x^2 + x = 1$代入得：
$=3×1 + 1$
$=4$

14. 计算$( 2 + 1 ) ( 2 ^ { 2 } + 1 ) ( 2 ^ { 4 } + 1 ) … ( 2 ^ { 2 n } + 1 ) + 1$($n$是正整数)。

答案： 【解析】：本题考查平方差公式的灵活运用。观察原式，直接计算较为复杂，可通过构造平方差公式的形式进行简便计算。注意到$(2 - 1)=1$，乘以原式后值不变，利用平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$逐步化简。
【答案】：解：原式$=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2n} + 1)+1$
$=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2n} + 1)+1$
$=(2^4 - 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2n} + 1)+1$
$=\dots$
$=(2^{2n} - 1)(2^{2n} + 1)+1$
$=2^{4n} - 1 + 1$
$=2^{4n}$

15. 计算：$( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } ) ( 1 - \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } ) ( 1 - \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } ) … ( 1 - \frac { 1 } { 2019 ^ { 2 } } ) ( 1 - \frac { 1 } { 2020 ^ { 2 } } )$。

答案： 【解析】：观察原式，每个括号内的式子都符合平方差公式$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$的形式，其中$a = n$，$b=\frac{1}{n}$（$n$从2到2020）。
将每个括号展开可得：
$\begin{aligned}&(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) \cdots (1 - \frac{1}{2019^2})(1 - \frac{1}{2020^2})\\=&(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{4}) \cdots (1 - \frac{1}{2019})(1 + \frac{1}{2019})(1 - \frac{1}{2020})(1 + \frac{1}{2020})\end{aligned}$
分别计算每个小括号：
$\begin{aligned}&(1 - \frac{1}{2})=\frac{1}{2}，(1 + \frac{1}{2})=\frac{3}{2}，\\&(1 - \frac{1}{3})=\frac{2}{3}，(1 + \frac{1}{3})=\frac{4}{3}，\\&(1 - \frac{1}{4})=\frac{3}{4}，(1 + \frac{1}{4})=\frac{5}{4}，\\&\cdots\\&(1 - \frac{1}{2019})=\frac{2018}{2019}，(1 + \frac{1}{2019})=\frac{2020}{2019}，\\&(1 - \frac{1}{2020})=\frac{2019}{2020}，(1 + \frac{1}{2020})=\frac{2021}{2020}\end{aligned}$
将这些结果相乘，会发现相邻分子分母可以约分：
$\frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × \cdots × \frac{2018}{2019} × \frac{2020}{2019} × \frac{2019}{2020} × \frac{2021}{2020}$
约分后，中间项全部消去，只剩下第一项的分子和最后一项的分母，以及第一项的分母和最后一项的分子：
$\frac{1}{2} × \frac{2021}{2020} = \frac{2021}{4040}$
【答案】：$\frac{2021}{4040}$