《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

11. (2020 江苏)如图所示,已知$AB// CD,AB= CD,BE= CF$.
求证：(1)$△ABF\cong △DCE$；
(2)$AF// DE$.

答案： 【解析】：
(1)因为$AB// CD$，所以$\angle B = \angle C$（两直线平行，内错角相等）。又因为$BE = CF$，所以$BE + EF= CF + EF$，即$BF = CE$。在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle B=\angle C\\BF = CE\end{array}\right.$，所以$\triangle ABF\cong\triangle DCE(SAS)$。
(2)由
(1)知$\triangle ABF\cong\triangle DCE$，所以$\angle AFB=\angle DEC$，则$\angle AFE=\angle DEF$（等角的补角相等），所以$AF// DE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)证明见解析

12. (2021 凉山州改编)如图所示,在四边形 ABCD 中,$∠ADC= ∠B= 90^{\circ }$,过点 D 作$DE⊥AB$于 E,若$DE= BE$.
求证：$DA= DC$.

答案： 【解析】：要证明DA=DC，可通过证明三角形全等实现。已知∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，DE=BE，考虑构造全等三角形。延长BC交DE延长线于点F，可证△DEB≌△FCB得DF=BC，再证△AED≌△DFC（AAS），从而得出DA=DC。
【答案】：证明：延长BC交DE的延长线于点F，
∵DE⊥AB，∠B=90°，
∴∠DEB=∠B=∠F=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∵DE=BE，
∴矩形DEBF是正方形，
∴DE=BF，BE=DF，∠EDF=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADC - ∠EDC=∠EDF - ∠EDC，
即∠ADE=∠CDF，
∵∠AED=∠F=90°，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴DA=DC。