《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

11. (2020 广东)已知$x= 5-y,xy= 2$,计算$3x+3y-4xy$的值为____7.

答案： 【解析】：已知$x = 5 - y$，则$x + y = 5$。又已知$xy = 2$，将$3x + 3y - 4xy$变形可得$3(x + y)-4xy$。把$x + y = 5$和$xy = 2$代入式子，得到$3×5 - 4×2 = 15 - 8 = 7$。
【答案】：7

12. (2020 甘孜州)若$m^{2}-2m= 1$,则代数式$2m^{2}-4m+3$的值为5.

答案： 【解析】：已知$m^{2}-2m = 1$，对代数式$2m^{2}-4m + 3$进行变形可得$2(m^{2}-2m)+3$。将$m^{2}-2m = 1$代入变形后的式子，得到$2×1 + 3 = 5$。
【答案】：5

13. (2021 资阳)若$x^{2}+x-1= 0$,则$3x-\frac {3}{x}= $-3.

答案： 【解析】：本题考查了分式的化简求值以及整体代入的思想。已知方程$x^{2}+x - 1 = 0$，要求$3x-\frac{3}{x}$的值。首先，因为$x = 0$不满足原方程，所以$x\neq0$，可以在方程两边同时除以$x$，得到$x + 1-\frac{1}{x}=0$，进而推出$x-\frac{1}{x}=- 1$。然后将$3x-\frac{3}{x}$提取公因式$3$，得到$3\left(x-\frac{1}{x}\right)$，最后把$x-\frac{1}{x}=-1$代入式子中计算即可。
【答案】：$-3$

14. (2020 绥化)如图各图形是由大小相同的黑点组成,图 1 中有 2 个点,图 2 中有 7 个点,图 3 中有 14 个点, …,按此规律,第 n 个图中黑点的个数是____n² + 2n - 1____.

(提示:图1中黑点的个数$2×1×(1+1)÷2+(1-1)= 2$,
图2中黑点的个数$2×2×(1+2)÷2+(2-1)= 7$,
图3中黑点的个数$2×3×(1+3)÷2+(3-1)= 14$).

答案： 【解析】：根据题目中给出的提示，分析第n个图中黑点个数的规律。题目提示中给出了前三个图的计算方式：
图1（n=1）：$2×1×(1 + 1)÷2+(1 - 1)$
先计算乘法和加法：$2×1×2÷2 + 0$
再依次计算：$4÷2 + 0 = 2 + 0 = 2$，结果符合图1的2个点。
图2（n=2）：$2×2×(1 + 2)÷2+(2 - 1)$
计算括号内和乘法：$2×2×3÷2 + 1$
接着计算乘除：$12÷2 + 1 = 6 + 1 = 7$，与图2的7个点一致。
图3（n=3）：$2×3×(1 + 3)÷2+(3 - 1)$
先算括号和乘法：$2×3×4÷2 + 2$
再算乘除：$24÷2 + 2 = 12 + 2 = 14$，符合图3的14个点。
观察上述三个式子，可提取出第n个图的通用表达式为：$2×n×(1 + n)÷2+(n - 1)$。对该式进行化简：
先化简式子中的乘除部分，$2×n×(n + 1)÷2$，其中2和÷2相互抵消，得到$n(n + 1)$。
此时表达式变为$n(n + 1)+(n - 1)$，展开$n(n + 1)$得$n^2 + n$。
再加上$(n - 1)$：$n^2 + n + n - 1 = n^2 + 2n - 1$。
验证化简后的表达式是否正确：
当n=1时，$1^2 + 2×1 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$，正确。
当n=2时，$2^2 + 2×2 - 1 = 4 + 4 - 1 = 7$，正确。
当n=3时，$3^2 + 2×3 - 1 = 9 + 6 - 1 = 14$，正确。
因此，第n个图中黑点的个数为$n^2 + 2n - 1$。
【答案】：$n^2 + 2n - 1$

15. (2021 永州)若 x,y 均为实数,$43^{x}= 2021,47^{y}= 2021$,则$43^{xy}\cdot 47^{xy}=$(2021)$^{x+y}$.

答案： 【解析】：本题考查幂的运算。已知$43^{x}=2021$，$47^{y}=2021$，要求$43^{xy}\cdot47^{xy}$等于什么的$x + y$次方。先将$43^{xy}\cdot47^{xy}$变形为$(43×47)^{xy}$，再通过已知条件找到$xy$与$x + y$的关系。因为$43^{x}=2021$，所以$(43^{x})^{y}=2021^{y}$，即$43^{xy}=2021^{y}$；同理$47^{xy}=2021^{x}$，则$43^{xy}\cdot47^{xy}=2021^{x}\cdot2021^{y}=2021^{x + y}$，所以括号里应填$2021$。
【答案】：2021

16. (2021 长春)先化简,再求值:$(a+2)(a-2)+a(1-a)$,其中$a= \sqrt {5}+4$.

答案： 【解析】：原式利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开，去括号合并得到最简结果，把$a$的值代入计算即可求出值。
$\begin{aligned}&(a + 2)(a - 2) + a(1 - a)\\=&a^2 - 4 + a - a^2\\=&(a^2 - a^2) + a - 4\\=&a - 4\end{aligned}$
当$a = \sqrt{5} + 4$时，原式$=\sqrt{5} + 4 - 4 = \sqrt{5}$。
【答案】：$\sqrt{5}$

17. (2021 衡阳)计算:$(x+2y)^{2}+(x-2y)(x+2y)+x(x-4y)$.

答案： 【解析】：本题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式。先分别运用公式展开各项，再合并同类项即可。
【答案】：解：原式$=x^{2}+4xy + 4y^{2}+x^{2}-4y^{2}+x^{2}-4xy$
$=(x^{2}+x^{2}+x^{2})+(4xy - 4xy)+(4y^{2}-4y^{2})$
$=3x^{2}$