《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

例4 计算:$4x^{3}y÷2y\cdot (-3xy^{3})^{2}$.

答案： 【解析】：本题考查整式的混合运算，涉及单项式的除法、乘法以及积的乘方运算。先算乘方，再从左到右依次进行乘除运算。
【答案】：解：原式$=4x^{3}y÷2y\cdot 9x^{2}y^{6}$
$=2x^{3}\cdot 9x^{2}y^{6}$
$=18x^{5}y^{6}$

例5 (1)计算:$2x(x-3y)+(5xy^{2}-2x^{2}y)÷y$;
(2)计算:$(2x-3y-1)(2x+3y-1)$;
(3)先化简,再求值:$[(x+2y)^{2}-(3x+y)(-y+3x)-5y^{2}]÷(-\frac {1}{2}x)$,其中$(2x+1)^{2}+|y-2|= 0$.

答案： 【解析】：
(1)考查整式的混合运算，先算乘法和除法，再合并同类项。先利用单项式乘多项式法则计算$2x(x - 3y)$，利用多项式除以单项式法则计算$(5xy^2 - 2x^2y)÷y$，然后合并同类项。
(2)考查乘法公式的应用，可将$(2x - 3y - 1)(2x + 3y - 1)$变形为$[(2x - 1)-3y][(2x - 1)+3y]$，再利用平方差公式计算，最后展开完全平方公式。
(3)考查整式的混合运算及求值，先化简中括号内的式子，利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项后再进行除法运算，然后根据非负数的性质求出$x$和$y$的值代入化简后的式子求值。
【答案】：
(1)解：原式$=2x^2 - 6xy + 5x y - 2x^2$
$=(2x^2 - 2x^2)+(-6xy + 5xy)$
$=-xy$
(2)解：原式$=[(2x - 1)-3y][(2x - 1)+3y]$
$=(2x - 1)^2-(3y)^2$
$=4x^2 - 4x + 1 - 9y^2$
(3)解：原式$=[x^2 + 4xy + 4y^2-(9x^2 - y^2)-5y^2]÷(-\frac{1}{2}x)$
$=[x^2 + 4xy + 4y^2 - 9x^2 + y^2 - 5y^2]÷(-\frac{1}{2}x)$
$=(-8x^2 + 4xy)÷(-\frac{1}{2}x)$
$=(-8x^2)÷(-\frac{1}{2}x)+4xy÷(-\frac{1}{2}x)$
$=16x - 8y$
因为$(2x + 1)^2 + |y - 2| = 0$，所以$2x + 1 = 0$，$y - 2 = 0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，$y = 2$。
将$x=-\frac{1}{2}$，$y = 2$代入原式中，原式$=16×(-\frac{1}{2})-8×2=-8 - 16=-24$

例6 有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:

小明发现这三种方案都能验证公式:$a^{2}+2ab+b^{2}= (a+b)^{2}$.
对于方案一,小明是这样验证的:$a^{2}+ab+ab+b^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}= (a+b)^{2}$.
请你根据方案二、方案三,写出公式验证的过程.

答案： 【解析】：本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形面积的不同计算方法来验证公式$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$。方案二和方案三均是将边长为$(a + b)$的大正方形分割成不同的图形，分别计算各部分面积之和，其结果应等于大正方形的面积$(a + b)^{2}$。
方案二分析
观察方案二图形，可将大正方形看作由一个边长为$a$的正方形、一个长为$a$宽为$b$的长方形和一个长为$(a + b)$宽为$b$的长方形组成。
边长为$a$的正方形面积：$a^{2}$
长为$a$宽为$b$的长方形面积：$ab$
长为$(a + b)$宽为$b$的长方形面积：$b(a + b)=ab + b^{2}$
各部分面积之和为：$a^{2}+ab+(ab + b^{2})=a^{2}+ab + ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，此和等于大正方形面积$(a + b)^{2}$。
方案三分析
方案三图形可看作是在边长为$a$的正方形基础上，在下方和右侧分别增加一个长方形，同时重叠部分是一个边长为$b$的正方形（需注意避免重复计算）。
原边长为$a$的正方形面积：$a^{2}$
下方增加的长为$a$宽为$b$的长方形面积：$ab$
右侧增加的长为$b$宽为$(a + b)$的长方形面积（因下方已增加宽$b$，右侧长方形的长实际为$b$，宽为$(a + b)$）：$b(a + b)=ab + b^{2}$
同样各部分面积之和为：$a^{2}+ab+(ab + b^{2})=a^{2}+2ab + b^{2}$，等于大正方形面积$(a + b)^{2}$。
【答案】：
方案二验证：
$\begin{aligned}&a^{2}+ab + b(a + b)\\=&a^{2}+ab+ab + b^{2}\\=&a^{2}+2ab + b^{2}\\=&(a + b)^{2}\end{aligned}$
方案三验证：
$\begin{aligned}&a^{2}+ab + b(a + b)\\=&a^{2}+ab+ab + b^{2}\\=&a^{2}+2ab + b^{2}\\=&(a + b)^{2}\end{aligned}$
（注：方案二和方案三的具体分割方式可能因图形细节略有差异，但核心均是将大正方形面积分解为$a^{2}$、两个$ab$和一个$b^{2}$，从而验证完全平方公式。）