《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

例5 如图所示,$△ABC的顶点A$,$B$,$C$都在小正方形的格点上,利用网格线按下列要求画图。
(1) 画$△A_1B_1C_1$,使它与$△ABC关于直线l$成轴对称；
(2) 在直线$l上求作一点P$,使点$A$,点$B$到它的距离之和最短；
(3) 若网格上的每个小正方形的边长为1,求$△ABC$的面积。

答案：
【解析】：本题考查了轴对称图形的画法、利用轴对称求最短路径以及格点三角形面积的计算。
（1）要画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A₁B₁C₁，需分别找出A、B、C三点关于直线l的对称点A₁、B₁、C₁，再顺次连接。
（2）根据轴对称的性质，作点A关于直线l的对称点A₁，连接A₁B，与直线l的交点即为点P，此时PA+PB最短。
（3）利用割补法，用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积可求出△ABC的面积。
【答案】：（1）（2）如图所示

（3）解：△ABC所在的矩形长为3，宽为2，面积为3×2=6。
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×1×1=0.5$，$\frac{1}{2}×2×1=1$。
所以△ABC的面积为6 - 1 - 0.5 - 1 = 3.5
即△ABC的面积为$\frac{7}{2}$

例6 如图所示,在$△ABC$中,$D是AB$的中点,$DE⊥AB$,$∠ACE + ∠BCE = 180^{\circ}$,$EF⊥AC交AC于点F$,$AC = 12$,$BC = 8$,求$AF$的长。

答案： 【解析】：连接AE、BE，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G。
因为D是AB的中点，DE⊥AB，所以DE垂直平分AB，根据垂直平分线的性质可得AE=BE。
由于∠ACE + ∠BCE = 180°，∠ECG + ∠BCE = 180°，所以∠ACE = ∠ECG。又因为EF⊥AC，EG⊥BC，根据角平分线的性质可知EF=EG。
在Rt△AFE和Rt△BGE中，AE=BE，EF=EG，所以Rt△AFE≌Rt△BGE（HL），则AF=BG。
设AF=BG=x，已知AC=12，所以CF=AC - AF=12 - x。因为EF=EG，EC=EC，所以Rt△CFE≌Rt△CGE（HL），故CG=CF=12 - x。
又因为BC=8，且BG=BC + CG，即x=8 + (12 - x)，解得x=10。所以AF的长为10。
【答案】：10