《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

7. 已知直线$AB//CD$,点$E在AB$,$CD$之间,点$P$,$Q分别在直线AB$,$CD$上,连接$PE$,$EQ$。
(1)如图(1)所示,作$EH//AB$,探究$∠PEQ与∠APE+∠CQE$间的数量关系,并说明理由；
(2)如图(2)所示,$PF平分∠BPE$,$QF平分∠EQD$,当$∠PEQ= 130^{\circ }$时,求出$∠PFQ$的度数；
(3)如图(3)所示,若点$E在CD$的下方,$PF平分∠BPE$,$QH平分∠EQD$,$QH的反向延长线交PF于点F$,当$∠PEQ= 80^{\circ }$时,直接写出$∠PFQ$的度数。

答案： 【解析】：
(1)过点E作EH//AB，因为AB//CD，所以EH//CD。根据两直线平行，内错角相等，可得∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH。所以∠PEQ=∠PEH+∠QEH=∠APE+∠CQE。
(2)因为AB//CD，设∠APE=x，∠CQE=y，由
(1)知∠PEQ=x+y=130°。则∠BPE=180°-x，∠EQD=180°-y。因为PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，所以∠BPF=(180°-x)/2=90°-x/2，∠DQF=(180°-y)/2=90°-y/2。过点F作FG//AB，因为AB//CD，所以FG//CD。则∠PFG=∠BPF=90°-x/2，∠QFG=∠DQF=90°-y/2。所以∠PFQ=∠PFG+∠QFG=90°-x/2+90°-y/2=180°-(x+y)/2=180°-130°/2=180°-65°=115°。
(3)设∠APE=m，∠DQE=n，因为AB//CD，点E在CD下方，所以∠PEQ=∠APE-∠DQE=m-n=80°（根据三角形外角性质或作平行线推导）。∠BPE=180°-m，∠EQD=180°-n。PF平分∠BPE，所以∠BPF=(180°-m)/2=90°-m/2。QH平分∠EQD，所以∠DQH=(180°-n)/2=90°-n/2，其反向延长线形成的∠CQH=180°-(90°-n/2)=90°+n/2。过点F作FI//AB，因为AB//CD，所以FI//CD。则∠PFI=∠BPF=90°-m/2，∠QFI=∠CQH=90°+n/2。所以∠PFQ=∠QFI-∠PFI=90°+n/2-(90°-m/2)=(m-n)/2=80°/2=40°。
【答案】：
(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE；
(2)115°；
(3)40°