《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

例 5 如图所示,已知 $\angle 1 = \angle BDE$,$\angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$。
(1) 证明：$AD // EF$；
(2) 若 $DA$ 平分 $\angle BDE$,$FE \perp AF$ 于点 $F$,$\angle 1 = 40^{\circ}$,求 $\angle BAC$ 的度数。

答案： 【解析】：
(1) 要证AD//EF，已知∠2 + ∠3 = 180°，需找AD与EF被第三条直线所截形成的同旁内角互补。由∠1 = ∠BDE，根据同位角相等两直线平行可证AC//DE，进而得到∠2 = ∠ADE（两直线平行内错角相等），等量代换后可得∠ADE + ∠3 = 180°，从而证得AD//EF。
(2) 已知∠1 = 40°且∠1 = ∠BDE，所以∠BDE = 40°。因为DA平分∠BDE，所以∠ADE = ∠ADB = 20°。由
(1)知AD//EF，又FE⊥AF，根据两直线平行同位角相等可得∠DAF = ∠F = 90°。由AC//DE可得∠2 = ∠ADE = 20°，最后∠BAC = ∠DAF - ∠2 = 90° - 20° = 70°。
【答案】：
(1) 证明：
∵∠1 = ∠BDE
∴AC//DE（同位角相等，两直线平行）
∴∠2 = ∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠2 + ∠3 = 180°
∴∠ADE + ∠3 = 180°
∴AD//EF（同旁内角互补，两直线平行）
(2)
∵∠1 = 40°，∠1 = ∠BDE
∴∠BDE = 40°
∵DA平分∠BDE
∴∠ADE = ∠ADB = 20°
∵AD//EF，FE⊥AF
∴∠DAF = ∠F = 90°（两直线平行，同位角相等）
∵AC//DE
∴∠2 = ∠ADE = 20°（两直线平行，内错角相等）
∴∠BAC = ∠DAF - ∠2 = 90° - 20° = 70°

例 6 如图所示,已知 $AB // CD$,现将一直角三角形 $PMN$ 放入图中,其中 $\angle P = 90^{\circ}$,$PM$ 交 $AB$ 于点 $E$,$PN$ 交 $CD$ 于点 $F$。
(1) 当 $\triangle PMN$ 所放位置如图 (1) 所示时,则 $\angle PFD$ 与 $\angle AEM$ 的数量关系为∠AEM + ∠PFD = 90°；
(2) 当 $\triangle PMN$ 所放位置如图 (2) 所示时,求证：$\angle PFD - \angle AEM = 90^{\circ}$；
(3) 在 (2) 的条件下,若 $MN$ 与 $CD$ 交于点 $O$,且 $\angle DON = 30^{\circ}$,$\angle PEB = 15^{\circ}$,求 $\angle N$ 的度数。45°

答案： 【解析】：
(1) 过点P作PQ//AB，因为AB//CD，所以PQ//CD。根据平行线的性质，∠AEM=∠QPM，∠PFD=∠QPN。由于∠MPN=90°，即∠QPM+∠QPN=90°，所以∠AEM+∠PFD=90°。
(2) 过点P作PH//AB，因为AB//CD，所以PH//CD。则∠AEM=∠HPM，∠PFD=∠HPF。因为∠MPN=90°，所以∠HPF - ∠HPM=90°，即∠PFD - ∠AEM=90°。
(3) 因为∠PEB=15°，AB是直线，所以∠AEM=180° - ∠PEB=165°。由
(2)知∠PFD - ∠AEM=90°，所以∠PFD=90° + 165°=255°，但∠PFD是三角形外角，实际应为∠PFD=180° - (255° - 180°)=105°。又因为∠DON=30°，在△NOF中，∠N=180° - ∠DON - ∠OFD=180° - 30° - 105°=45°。
【答案】：
(1)∠AEM + ∠PFD = 90°；
(2)证明见解析；
(3)45°