《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

10. 已知,如图所示,$ A B = A E $,$ A B // D E $,$ \angle E C B = 70 ^ { \circ } $,$ \angle D = 110 ^ { \circ } $,求证：$ \triangle A B C \cong \triangle E A D $。

答案： 【解析】：要证明△ABC≌△EAD，已知AB=AE，需再找两个条件。由AB//DE可推出∠EAB=∠AED，由∠ECB=70°和∠D=110°可推出AD//BC，进而得到∠ACB=∠EAD，最后利用AAS证明全等。
【答案】：证明：
∵AB//DE
∴∠EAB=∠AED（两直线平行，内错角相等）
∵∠ECB=70°
∴∠ACB=∠ECB=70°（对顶角相等）
∵∠D=110°
∴∠ACB+∠D=70°+110°=180°
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ACB=∠EAD（两直线平行，内错角相等）
在△ABC和△EAD中
∵∠ACB=∠EAD，∠EAB=∠AED，AB=EA
∴△ABC≌△EAD（AAS）

11. 如图所示,在 $ \triangle A B C $ 中 $ A D $,$ A E $,$ A F $ 分别为 $ \triangle A B C $ 的高、角平分线和中线,已知 $ \triangle A F C $ 的面积为 10,$ A D = 4 $,$ \angle D A E = 20 ^ { \circ } $,$ \angle C = 30 ^ { \circ } $。
(1) 求 $ B C $ 的长度；
(2) 求 $ \angle B $ 的度数。

答案： 【解析】：
(1)因为AF是△ABC的中线，所以BF=FC，即F是BC中点。△AFC和△AFB等底同高，面积相等，所以△ABC面积为2×10=20。又因为AD是高，AD=4，根据三角形面积公式，$\frac{1}{2}×BC×AD=20$，可得BC=10。
(2)AD是高，∠ADC=90°，∠C=30°，所以∠CAD=60°。AE是角平分线，设∠CAE=∠BAE=x。∠DAE=20°，则∠CAD - ∠CAE=20°，即60° - x=20°，x=40°，所以∠BAC=80°。根据三角形内角和，∠B=180° - ∠BAC - ∠C=70°。
【答案】：
(1)解：
∵AF是△ABC的中线
∴BF=FC
∵△AFC的面积为10
∴△ABC的面积=2×10=20
∵AD是△ABC的高，AD=4
∴$\frac{1}{2}×BC×AD=20$
即$\frac{1}{2}×BC×4=20$
∴BC=10
(2)解：
∵AD是△ABC的高
∴∠ADC=90°
∵∠C=30°
∴∠CAD=180° - 90° - 30°=60°
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠CAE=∠BAE
设∠CAE=∠BAE=x
∵∠DAE=20°
∴∠CAD - ∠CAE=20°
即60° - x=20°
∴x=40°
∴∠BAC=2x=80°
∴∠B=180° - ∠BAC - ∠C=180° - 80° - 30°=70°

12. 如图所示,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A D $ 平分 $ \angle B A C $,$ D G \perp B C $ 且平分 $ B C $,$ D E \perp A B $ 于 $ E $,$ D F \perp A C $ 于 $ F $。
(1) 说明 $ B E = C F $ 的理由；
(2) 如果 $ A B = 5 $,$ A C = 3 $,求 $ A E $,$ B E $ 的长。

答案： 【解析】：
(1) 要证BE=CF，可通过证明分别包含BE和CF的两个直角三角形全等。已知DG垂直平分BC，可得DB=DC；AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线性质得DE=DF；再用HL证Rt△BED≌Rt△CFD即可。
(2) 先证Rt△AED≌Rt△AFD得AE=AF，设BE=x，用AB和AC的长度表示AE和AF，根据AE=AF列方程求解。
【答案】：
(1) 证明：连接DB，DC
∵DG⊥BC且平分BC
∴DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）
在Rt△BED和Rt△CFD中
∵DB=DC，DE=DF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）
∴BE=CF
(2) 解：在Rt△AED和Rt△AFD中
∵AD=AD，DE=DF
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）
∴AE=AF
设BE=x，则CF=x
∵AB=5，AC=3
∴AE=AB-BE=5 - x，AF=AC + CF=3 + x
∵AE=AF
∴5 - x=3 + x
解得x=1
∴BE=1，AE=AB - BE=5 - 1=4
答：AE=4，BE=1