《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

例1 (1) 已知$4 ^ { m } = a$,$8 ^ { n } = b$,用含$a$,$b$的式子表示下列代数式：
①$2 ^ { 2 m + 3 n }$；
②$2 ^ { 4 m - 6 n }$。
(2) 已知$2 × 8 ^ { x } × 16 = 2 ^ { 23 }$,求$x$的值。

答案： 【解析】：
(1)①本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算。先将4和8转化为以2为底的幂，即$4^m=(2^2)^m=2^{2m}=a$，$8^n=(2^3)^n=2^{3n}=b$。然后根据同底数幂的乘法法则$2^{2m+3n}=2^{2m}×2^{3n}$，代入$a$和$b$即可。②考查同底数幂的除法和幂的乘方运算。先将$2^{4m}$变形为$(2^{2m})^2$，$2^{6n}$变形为$(2^{3n})^2$，再根据同底数幂的除法法则$2^{4m - 6n}=\frac{2^{4m}}{2^{6n}}$，代入$a$和$b$计算。
(2)本题考查同底数幂的乘法运算及方程求解。先将8和16转化为以2为底的幂，即$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$，$16=2^4$，然后根据同底数幂的乘法法则将左边化简为$2^{1 + 3x+4}$，令其等于右边的$2^{23}$，指数相等列出方程求解$x$。
【答案】：
(1)①解：因为$4^m=(2^2)^m=2^{2m}=a$，$8^n=(2^3)^n=2^{3n}=b$，所以$2^{2m+3n}=2^{2m}×2^{3n}=a× b=ab$
②解：$2^{4m - 6n}=2^{4m}÷2^{6n}=(2^{2m})^2÷(2^{3n})^2=a^2÷ b^2=\frac{a^2}{b^2}$
(2)解：因为$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$，$16=2^4$，所以$2×8^x×16=2×2^{3x}×2^4=2^{1 + 3x+4}=2^{3x+5}$。又因为$2×8^x×16 = 2^{23}$，所以$2^{3x+5}=2^{23}$，则$3x + 5=23$，解得$3x=18$，$x = 6$

例2 已知：$x + y = 6$,$x y = 4$,求下列各式的值：
(1)$x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$；
(2)$( x - y ) ^ { 2 }$。

答案： 【解析】：本题考查乘法公式的灵活运用，涉及完全平方公式的变形。对于（1），已知$x + y$和$xy$的值，可利用完全平方公式$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$变形得到$x^2 + y^2=(x + y)^2-2xy$，代入计算即可；对于（2），同样利用完全平方公式$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，而$x^2 + y^2$的值在（1）中已求出，代入即可计算。
【答案】：（1）解：因为$x + y = 6$，$xy = 4$，
所以$x^2 + y^2=(x + y)^2-2xy$
$=6^2-2×4$
$=36 - 8$
$=28$；
（2）解：由（1）知$x^2 + y^2 = 28$，
又因为$xy = 4$，
所以$(x - y)^2=x^2 - 2xy + y^2$
$=28-2×4$
$=28 - 8$
$=20$。