《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

例 1 (1) 已知三角形的两边分别为 1 和 4,第三边长为整数,则该三角形的周长为 (C)
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
(2) 画 $ \triangle A B C $ 中 $ B C $ 边上的高,下面的画法中,正确的是 (B)

(3) 如图所示,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A D $,$ A E $ 分别是 $ \triangle A B C $ 的高和角平分线。
① 若 $ \angle A B C = 30 ^ { \circ } $,$ \angle A C B = 50 ^ { \circ } $,求 $ \angle D A E $ 的度数；
② 写出 $ \angle D A E $ 与 $ \angle C - \angle B $ 的数量关系,并证明你的结论。

答案： 【解析】：
(1) 本题考查三角形三边关系。设第三边长为$x$，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得$4 - 1 ＜ x ＜ 4 + 1$，即$3 ＜ x ＜ 5$。因为第三边长为整数，所以$x = 4$，则周长为$1 + 4 + 4 = 9$。
(2) 本题考查三角形高的画法。三角形的高是从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。选项B中，从$A$点向$BC$边作垂线，垂足为$D$，符合高的定义。
(3) ① 本题考查三角形内角和定理、角平分线和高的性质。先根据三角形内角和求出$\angle BAC$，再求出$\angle BAE$，然后在直角三角形$ADC$中求出$\angle DAC$，最后用$\angle BAE - \angle BAD$（此处原解析笔误，应为$\angle BAE - \angle BAD$，实际计算是$\angle BAE - (\angle BAC - \angle DAC)$的变形）得到$\angle DAE$。
② 本题考查三角形角的关系证明。利用三角形内角和定理、角平分线定义和直角三角形两锐角互余，通过角的计算得出$\angle DAE$与$\angle C - \angle B$的关系。
【答案】：
(1) C
(2) B
(3) ① 解：在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 50^{\circ}$
$\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC - \angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-50^{\circ}=100^{\circ}$
$AE$是角平分线
$\angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×100^{\circ}=50^{\circ}$
$AD$是高，$\angle ADC = 90^{\circ}$
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle DAC=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$
$\angle BAD=\angle BAC - \angle DAC=100^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}$
$\angle DAE=\angle BAD - \angle BAE=60^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ}$
② 解：$\angle DAE=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$
证明：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B - \angle C$
$AE$是角平分线
$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B - \angle C)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C$
$AD$是高，$\angle ADB = 90^{\circ}$
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}-\angle B$
$\angle DAE=\angle BAD - \angle BAE=(90^{\circ}-\angle B)-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C)=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$