《2025年复习直升机七年级数学北师大版》

1. (2021 岳阳)下列命题是真命题的是 (B)
A.内错角相等
B.三角形的任意两边之和大于第三边
C.两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

答案： 【解析】：本题考查真命题的判断，涉及内错角性质、三角形三边关系、三角形全等判定及三角形重心概念。A选项，内错角相等的前提是两直线平行，该选项未提及，故为假命题；B选项，三角形任意两边之和大于第三边是三角形的基本性质，为真命题；C选项，两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，需强调该角为两边的夹角（SAS），否则不一定全等，故为假命题；D选项，三角形的重心是三条中线的交点，三条角平分线的交点是内心，故为假命题。综上，正确答案为B。
【答案】：B

2. (2020 乐山)如图所示,E 是直线 CA 上一点,$∠FEA= 40^{\circ }$,射线 EB 平分$∠CEF,GE⊥EF$,则$∠GEB= $ (B)

A.$10^{\circ }$
B.$20^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$40^{\circ }$

答案： 【解析】：已知∠FEA=40°，因为点E在直线CA上，所以∠CEF与∠FEA互补，即∠CEF=180°-∠FEA=180°-40°=140°。
由于射线EB平分∠CEF，所以∠CEB=∠BEF=∠CEF÷2=140°÷2=70°。
又因为GE⊥EF，所以∠GEF=90°。
因此，∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°。
【答案】：B

3. (2021 岳阳)将一副直角三角板按如图方式摆放,若直线$a// b$,则$∠1$的大小为 (C)

A.$45^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$105^{\circ }$

答案： 【解析】：如图，记三角板的交点为点O，过点O作直线c//a，因为a//b，所以c//b。
在含45°角的直角三角板中，另一个锐角为45°；在含60°角的直角三角板中，另一个锐角为30°。
由平行线的性质可知，∠2=45°（两直线平行，内错角相等），∠3=30°（两直线平行，内错角相等）。
所以∠1=∠2+∠3=45°+30°=75°。
【答案】：C

4. (2020 天门)将一副三角尺按如图摆放,点 E 在 AC 上,点 D 在 BC 的延长线上,$EF// BC$,$∠B= ∠EDF= 90^{\circ },∠A= 45^{\circ },∠F= 60^{\circ }$,则$∠CED$的度数是 (A)

A.$15^{\circ }$
B.$20^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$30^{\circ }$

答案： 【解析】：本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质以及三角尺的角度特征。首先，根据已知条件确定三角尺各角的度数，再利用平行线的性质求出相关角的度数，最后通过三角形内角和定理或外角性质求出∠CED的度数。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=45°，所以∠ACB=180° - ∠A - ∠B=180° - 45° - 90°=45°。
在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠F=60°，所以∠DEF=180° - ∠F - ∠EDF=180° - 60° - 90°=30°。
因为EF//BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠FEC=∠ACB=45°。
又因为∠FEC=∠DEF + ∠CED，所以∠CED=∠FEC - ∠DEF=45° - 30°=15°。
【答案】：A

5. (2020 黑河)有两个直角三角形纸板,一个含$45^{\circ }$角,另一个含$30^{\circ }$角,如图(1)所示叠放,先将含$30^{\circ }$角的纸板固定不动,再将含$45^{\circ }$角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转,使$BC// DE$,如图(2)所示,则旋转角$∠BAD$的度数为 (A)

A.$15^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： 【解析】：本题考查三角形内角和定理、平行线的性质以及旋转的性质。首先，在含$30^{\circ}$角的直角三角形$ADE$中，已知$\angle D=90^{\circ}$，$\angle E=30^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可求出$\angle DAE=60^{\circ}$。在含$45^{\circ}$角的直角三角形$ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=45^{\circ}$，同理可得$\angle BAC=45^{\circ}$。因为$BC// DE$，且$\angle D=90^{\circ}$，根据两直线平行，同位角相等，可知$\angle DFB=\angle D=90^{\circ}$（设$BC$与$AD$交于点$F$）。在$\triangle BFD$中，$\angle B=45^{\circ}$，$\angle DFB=90^{\circ}$，所以$\angle ADB=45^{\circ}$。在$\triangle ABD$中，$\angle ABD=45^{\circ}$，$\angle ADB=45^{\circ}$，根据三角形内角和定理可求出$\angle BAD=90^{\circ}$。但此时$\angle BAD$是旋转后$AD$与$AB$的夹角，而初始时$\angle DAE=60^{\circ}$，$\angle BAC=45^{\circ}$，初始位置$\angle BAD$为$\angle DAE - \angle BAC = 60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$，旋转后$\angle BAD$为$90^{\circ}$，所以旋转角为$90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$？（此处原解析有误，重新分析：在图（2）中，$BC// DE$，$\angle E=30^{\circ}$，所以$\angle ECB=\angle E=30^{\circ}$（两直线平行，内错角相等），$\angle ACB=90^{\circ}$，所以$\angle ACE=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，$\angle CAE=30^{\circ}$（在$\triangle ACE$中，$\angle ACE=60^{\circ}$，$\angle E=30^{\circ}$），$\angle BAC=45^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle BAC + \angle CAE=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$，$\angle DAE=60^{\circ}$，所以旋转角$\angle BAD=\angle BAE - \angle DAE=75^{\circ}-60^{\circ}=15^{\circ}$）。
【答案】：A

6. (2021 常德) 如图所示,已知 F,E 分别是正方形 ABCD 的边 AB 与 BC 的中点,AE 与 DF 交于 P,则下列结论成立的是 (C)

A.$BE= \frac {1}{2}AE$
B.$PC= PD$
C.$∠EAF+∠AFD= 90^{\circ }$
D.$PE= EC$

答案： 【解析】：设正方形ABCD的边长为2a，则AB=BC=CD=DA=2a。
选项A：F、E分别为AB、BC中点，所以AF=FB=BE=EC=a。在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，则$\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{5}}{2}a≠BE=a$，A错误。
选项B：易证△ADF≌△BAE（SAS），得∠ADF=∠BAE，进而∠APD=90°（互余）。若PC=PD，则点P在CD的垂直平分线上，但CD垂直平分线为正方形纵向对称轴，显然P不在该线上（P在正方形内部偏上），B错误。
选项C：由△ADF≌△BAE得∠AFD=∠AEB。又∠EAF+∠BAE=∠DAB=90°，且∠BAE=∠AEB（△ABE中，AB=2a，BE=a，∠BAE≠∠AEB，此处修正为：∠EAF+∠AFD=∠EAF+∠AEB，而∠AEB+∠BAE=90°（Rt△ABE中两锐角互余），且∠BAE=∠DAF（全等性质），故∠EAF+∠AFD=90°），C正确。
选项D：AE=$\sqrt{5}a$，由△APF∽△ADP得AP=$\frac{AD^2}{AE}=\frac{4a}{\sqrt{5}}$，则PE=AE-AP=$\sqrt{5}a-\frac{4a}{\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}≠EC=a$，D错误。
【答案】：C