《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社八年级数学冀教版》

9. 多边形的边数增加一条后,内角和与外角和的变化是 (B)
A.内角和不变,外角和增加 $180^{\circ}$
B.内角和增加 $180^{\circ}$,外角和不变
C.内角和不变,外角和不变
D.内角和增加 $180^{\circ}$,外角和增加 $180^{\circ}$

答案： B

10. 如图 5 是一块电脑屏幕上出现的矩形拼图,由 6 个不同的正方形组成,设中间最小的一个正方形边长为 1,正方形①的边长为 4,则这个矩形拼图的面积为______143.

答案： 143

11. 一个多边形的内角和是它的外角和的 4 倍,求:
(1)这个多边形是几边形?
(2)这个多边形共有多少条对角线?

答案：
(1)设这个多边形是$n$边形，由题意得：$(n - 2)×180° = 4×360°$，解得$n = 10$，所以这个多边形是十边形。
(2)十边形的对角线条数为：$\frac{10×(10 - 3)}{2} = 35$（条）。

12. 如图 6,以 $\triangle ABC$ 的边 $AB,AC$ 为边分别向外作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$,连接 $EG$,试判断 $\triangle ABC$ 与 $\triangle AEG$ 面积之间的关系,并说明理由.

△ABC与△AEG的面积相等，理由如下：
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∴sin∠BAC=sin(180°-∠EAG)=sin∠EAG，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·AC·sin∠BAC，S△AEG=$\frac{1}{2}$AE·AG·sin∠EAG，
∴S△ABC=S△AEG。

答案： △ABC与△AEG的面积相等，理由如下：
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∴sin∠BAC=sin(180°-∠EAG)=sin∠EAG，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·AC·sin∠BAC，S△AEG=$\frac{1}{2}$AE·AG·sin∠EAG，
∴S△ABC=S△AEG。

13. 如图 7,已知 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 是两个边长都为 $10\mathrm{cm}$ 的等边三角形,且点 $B,D,C,E$ 都在同一直线上,连接 $AD,CF$.
(1)求证:四边形 $ADFC$ 是平行四边形;
(2)若 $BD = 6\mathrm{cm},\triangle ABC$ 沿 $BE$ 的方向以每秒 $2\mathrm{cm}$ 的速度运动,运动时间为 $t$ 秒.
①当 $t$ 为何值时,四边形 $ADFC$ 是菱形?
答：$t=$3秒
②四边形 $ADFC$ 有可能是矩形吗? 若可能,画出草图并求出 $t$ 的值;若不可能,请说明理由.
答：四边形 $ADFC$ 有可能是矩形，$t=$8秒

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ABC$和$\triangle DEF$是两个边长都为$10\mathrm{cm}$的等边三角形，
所以$AC = DF$，$\angle ACD=\angle FDE = 60^{\circ}$。
所以$AC// DF$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$ADFC$是平行四边形。
2. （2）①
当四边形$ADFC$是菱形时，$AD = AC$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AD = AB$。
此时$\triangle ABC$与$\triangle DEF$重合，$B$与$D$重合。
已知$BD = 6\mathrm{cm}$，$\triangle ABC$的运动速度为每秒$2\mathrm{cm}$，根据$t=\frac{s}{v}$（$s$是路程，$v$是速度），可得$t=\frac{6}{2}=3$（秒）。
3. （2）②
四边形$ADFC$有可能是矩形。
当四边形$ADFC$是矩形时，$\angle ADF = 90^{\circ}$，
因为∠ADF=∠ADC+∠EDF
所以∠ADC+60°=90°
所以∠ADC=30°
所以此时当B运动到E,∠ABC=∠BAD+∠BDA=60°,且AB=DE
所以∠BDA=30°
此时B点运动的距离为BD+DE=6+10=16(cm)
所以t=16÷2=8(秒)