《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社八年级数学冀教版》

11. 如图 3, $ l_1,l_2 $ 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像, 图中 $ s(m) $ 和 $ t(s) $ 分别表示运动路程和时间, 根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 (C)
A.$ 2.5m $
B.$ 2m $
C.$ 1.5m $
 D.$ 1m $

答案： C

12. 已知点 $ (1,m),(2,n) $ 在函数 $ y = -x + 1 $ 的图像上, 则 $ m,n $ 的大小关系是$ m ＞ n $.

答案： $ m ＞ n $

13. 已知 $ \frac{a + c}{b} = \frac{b + c}{a} = \frac{a + b}{c} = k,a + b + c \neq 0 $, 则 $ y = kx + b $ 的图像一定经过第一、三象限.

答案： 一、三

14. 在平面直角坐标系中, 函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 的图像经过点 $ A(1,4) $ 和 $ B(2,2) $.
(1) 求该函数的表达式;$y=-2x+6$
(2) 画出该函数的图像;（列表：
|x|0|3|
|----|----|----|
|y|6|0|
描点$(0,6)$，$(3,0)$，连线即可）
(3) 当 $ x ＞ 2 $ 时, 对于 $ x $ 的每一个值, 函数 $ y = mx - 1 $ 的值均大于 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 的值, 结合函数图像, 直接写出 $ m $ 的取值范围.$m\geq\frac{3}{2}$

答案：
(1) 解：将点$A(1,4)$和$B(2,2)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k+b=4\\2k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=6\end{cases}$
所以函数表达式为$y=-2x+6$
(2) 解：列表：
|x|0|3|
|----|----|----|
|y|6|0|
描点$(0,6)$，$(3,0)$，连线即可
(3) $m\geq\frac{3}{2}$

15. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ ax + b = y \end{cases} $ 和 $ \begin{cases} x + by = a \\ 2x + y = 8 \end{cases} $ 的解相同.
(1) 求 $ a,b $ 的值;$a=1$，$b=-1$
(2) 若直线 $ l_1:y = ax + 1 $ 与直线 $ l_2:y = -\frac{1}{2}x + b $ 分别交 $ y $ 轴于点 $ A,B $, 两直线交于点 $ P $, 求 $ \triangle ABP $ 的面积.$\frac{4}{3}$

答案：
(1) 解：因为两个方程组的解相同，所以联立不含a,b的方程：
$\begin{cases}3x - y = 7 \\2x + y = 8\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 3 \\y = 2\end{cases}$
将$x = 3$, $y = 2$代入含a,b的方程：
$\begin{cases}3a + b = 2 \\3 + 2b = a\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = 1 \\b = -1\end{cases}$
(2) 解：由
(1)知$a = 1$, $b = -1$，则直线$l_1: y = x + 1$，直线$l_2: y = -\frac{1}{2}x - 1$。
直线$l_1$交y轴于点A，令$x = 0$，得$y = 1$，所以$A(0, 1)$。
直线$l_2$交y轴于点B，令$x = 0$，得$y = -1$，所以$B(0, -1)$。
联立$l_1$和$l_2$的方程：
$\begin{cases}y = x + 1 \\y = -\frac{1}{2}x - 1\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = -\frac{4}{3} \\y = -\frac{1}{3}\end{cases}$
所以点$P(-\frac{4}{3}, -\frac{1}{3})$。
$AB$的长度为$|1 - (-1)| = 2$，点P到y轴的距离为$|-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}$。
所以$\triangle ABP$的面积为：$\frac{1}{2} × AB × \frac{4}{3} = \frac{1}{2} × 2 × \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$。

16. 某公司去果园基地购买苹果, 果园基地对购买数量在 3000 千克以上 (含 3000 千克) 的有两种销售方案. 甲方案: 每千克 9 元, 由基地送货上门; 乙方案: 每千克 8 元, 由顾客自己租车运回.
已知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元.
(1) 若该公司购买的苹果数量不低于 3000 千克, 分别写出该公司两种购买方案的付款 $ y $ (元) 与所购买的苹果数量 $ x $ (千克) 之间的函数关系式;
(2) 当购买量在什么范围时, 选择哪种购买方案付款最少? 说明理由.

答案： $(1)$ 求两种购买方案的付款 $y$ 与所购买的苹果数量 $x$ 之间的函数关系式
- **甲方案：
已知甲方案每千克$9$元，由基地送货上门，根据“付款金额$=$苹果单价$×$苹果数量”，可得甲方案的函数关系式为：$y_{甲}=9x$（$x\geqslant3000$）。
- **乙方案：
已知乙方案每千克$8$元，由顾客自己租车运回，租车运输费为$5000$元，根据“付款金额$=$苹果单价$×$苹果数量$+$运输费”，可得乙方案的函数关系式为：$y_{乙}=8x + 5000$（$x\geqslant3000$）。
$(2)$ 分析当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少
令$y_{甲}=y_{乙}$，即$9x=8x + 5000$，
解这个方程：
$9x-8x=5000$，
可得$x = 5000$。
- **当$x = 5000$时：
$y_{甲}=y_{乙}=9×5000=45000$（元），此时两种方案付款一样。
- **当$3000\leqslant x\lt5000$时：
$y_{甲}-y_{乙}=9x-(8x + 5000)=9x - 8x-5000=x - 5000\lt0$，所以$y_{甲}\lt y_{乙}$，此时甲方案付款最少。
当$x\gt5000$时：
$y_{甲}-y_{乙}=9x-(8x + 5000)=9x - 8x-5000=x - 5000\gt0$，所以$y_{甲}\gt y_{乙}$，此时乙方案付款最少。
综上，$(1)$ 甲方案：$y_{甲}=9x$（$x\geqslant3000$）；乙方案：$y_{乙}=8x + 5000$（$x\geqslant3000$）。$(2)$ 当购买量为$5000$千克时，两种方案付款一样；当$3000\leqslant x\lt5000$时，选择甲方案付款最少；当$x\gt5000$时，选择乙方案付款最少。