《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社八年级数学冀教版》

9. 如图5,在矩形ABCD中,E是BC的中点,$\angle BAE = 45^{\circ}$,$AE = 2$,则四边形AECD的面积是(C)
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.8
  

答案： C

10. 如图6,正方形ABCD的对角线的长为$8\sqrt{2}$,点E为AB上一点。若$EF\perp AC$于点F,$EG\perp BD$于点G,则$EF + EG = $$4\sqrt{2}$。

答案： $4\sqrt{2}$

11. 如图7,AD是$\triangle ABC$的角平分线,AD的垂直平分线分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF。判断四边形AEDF的形状,并证明。

四边形AEDF是菱形。
证明：设AD的垂直平分线交AD于点O。
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，OA=OD，∠AOE=∠AOF=90°。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
在△AOE和△AOF中，
∠EAO=∠FAO，
OA=OA，
∠AOE=∠AOF，
∴△AOE≌△AOF(ASA)。
∴AE=AF。
∵AE=DE，AF=DF，AE=AF，
∴AE=DE=DF=AF。
∴四边形AEDF是菱形。

答案： 四边形AEDF是菱形。
证明：设AD的垂直平分线交AD于点O。
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，OA=OD，∠AOE=∠AOF=90°。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
在△AOE和△AOF中，
∠EAO=∠FAO，
OA=OA，
∠AOE=∠AOF，
∴△AOE≌△AOF(ASA)。
∴AE=AF。
∵AE=DE，AF=DF，AE=AF，
∴AE=DE=DF=AF。
∴四边形AEDF是菱形。

12. 如图8,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,$BE = DF$,$AC = EF$。
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若$CE = 2BE且AE = BE$,已知$AB = 2$,求AC的长。

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC。
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形。
(2)解：
设BE=x，则CE=2x，AE=BE=x，BC=BE+CE=3x。
∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，∴∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
∵AB=2，AE=BE=x，
∴2²=x²+x²，解得x=√2（负值舍去）。
∴AE=√2，CE=2√2。
在Rt△AEC中，AC²=AE²+CE²= (√2)²+(2√2)²=2+8=10，
∴AC=√10。

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC。
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形。
(2)解：
设BE=x，则CE=2x，AE=BE=x，BC=BE+CE=3x。
∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
∵AB=2，AE=BE=x，
∴2²=x²+x²，解得x=√2（负值舍去）。
∴AE=√2，CE=2√2。
在Rt△AEC中，AC²=AE²+CE²= (√2)²+(2√2)²=2+8=10，
∴AC=√10。

13. 如图9,已知在$□ ABCD$中,E,F分别为AB,CD边的中点,BD是对角线,$AG// DB$交CB的延长线于点G。
(1)求证：$\triangle ADE\cong\triangle CBF$；
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB = CD$，$\angle A=\angle C$。
又因为$E$，$F$分别为$AB$，$CD$边的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$，则$AE = CF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle A=\angle C\\AE = CF\end{cases}$。
根据SAS（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论。
矩形
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，又$AG// DB$，所以四边形$AGBD$是平行四边形。
因为四边形$BEDF$是菱形，所以$DE = BE$。
因为$E$是$AB$边的中点，所以$AE = BE$，则$AE = BE = DE$。
所以$\angle DAE=\angle ADE$，$\angle EDB=\angle EBD$。
因为$\angle DAE+\angle ADE+\angle EDB+\angle EBD = 180^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle EDB = 90^{\circ}$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AGBD$是矩形。

答案： 1. （1）
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB = CD$，$\angle A=\angle C$。
又因为$E$，$F$分别为$AB$，$CD$边的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$，则$AE = CF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle A=\angle C\\AE = CF\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
2. （2）
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，又$AG// DB$，所以四边形$AGBD$是平行四边形。
因为四边形$BEDF$是菱形，所以$DE = BE$。
因为$E$是$AB$边的中点，所以$AE = BE$，则$AE = BE = DE$。
所以$\angle DAE=\angle ADE$，$\angle EDB=\angle EBD$。
因为$\angle DAE+\angle ADE+\angle EDB+\angle EBD = 180^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle EDB = 90^{\circ}$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AGBD$是矩形。
综上，（1）已证$\triangle ADE\cong\triangle CBF$；（2）四边形$AGBD$是矩形。