《2025年亮点给力提优班六年级数学上册苏教版》

例3 从一个棱长10厘米的正方体木块上平行于某条棱挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少平方厘米？
思路分析 本题有多种情况：

规范解答 情况一：$10×10×6 - 2×2×2 = 592$(平方厘米)
情况二：$10×10×6 - 2×2×2 + 10×2×2 = 632$(平方厘米)
情况三：$10×10×6 - 2×2×2 + 10×2×4 = 672$(平方厘米)
答：剩下部分的表面积可能是592平方厘米或632平方厘米或672平方厘米。

答案： 解析：本题考查正方体挖去一个长方体后表面积的变化情况，需要根据不同的挖法，分析表面积的变化，进而计算出剩下部分的表面积。
情况一：沿着一条棱挖，表面积减少$2$个边长为$2$厘米的正方形的面积。
情况二：在某个面上正着挖，表面积减少$2$个边长为$2$厘米的正方形的面积，同时增加了$2$个长是$10$厘米、宽是$2$厘米的长方形的面积。
情况三：挖通某两个对面，表面积减少$2$个边长为$2$厘米的正方形的面积，同时增加了$4$个长是$10$厘米、宽是$2$厘米的长方形的面积。
答案：原正方体表面积：$10×10×6 = 600$（平方厘米）
情况一：
减少的面积：$2×2×2 = 8$（平方厘米）
剩下部分表面积：$600 - 8 = 592$（平方厘米）
情况二：
减少的面积：$2×2×2 = 8$（平方厘米）
增加的面积：$10×2×2 = 40$（平方厘米）
剩下部分表面积：$600 - 8 + 40 = 632$（平方厘米）
情况三：
减少的面积：$2×2×2 = 8$（平方厘米）
增加的面积：$10×2×4 = 80$（平方厘米）
剩下部分表面积：$600 - 8 + 80 = 672$（平方厘米）
答：剩下部分的表面积可能是$592$平方厘米或$632$平方厘米或$672$平方厘米。

跟踪练习4 用橡皮泥做一个棱长为5厘米的正方体,先在上面中心位置处从上到下打一个边长为1厘米的正方形通孔,如图①,再在正面中心位置处从前到后打一个边长为1厘米的正方形通孔,如图②。打孔后橡皮泥的体积是多少立方厘米？打孔后橡皮泥的表面积是多少平方厘米？

答案： 5×5×5-1×1×5×2+1×1×1=116(立方厘米) 5×5×6-1×1×4+1×(5-1)×4×2+1×1×2=180(平方厘米)

例4 一种蜡笔盒长和宽都是8厘米,高是3厘米,乐乐想把6个这样的蜡笔盒包装成一个长方体,怎样包最省包装纸？请你算一算,最少需要多少平方厘米的包装纸？(包装纸的重叠部分忽略不计)
思路分析 要想最省包装纸,则尽量将较大的面拼接在一起。$6 = 1×1×6 = 1×2×3$,三种较为节省包装纸的包装方法如下图。

分别计算三种包装方法的表面积后比较即可。
规范解答 包法一：$3×6 = 18$(厘米) $8×8×2 + 8×18×4 = 704$(平方厘米)
包法二：$8×2 = 16$(厘米) $3×3 = 9$(厘米) $(8×16 + 8×9 + 16×9)×2 = 688$(平方厘米)
包法三：$8×3 = 24$(厘米) $3×2 = 6$(厘米) $(8×24 + 8×6 + 24×6)×2 = 768$(平方厘米)
$688 ＜ 704 ＜ 768$
答：包装成长16厘米、宽8厘米、高9厘米的长方体最节省包装纸,最少需要688平方厘米的包装纸。

答案： 解析：本题考查长方体表面积的计算及最优化问题。
把6个棱长为8厘米、8厘米、3厘米的长方体蜡笔盒包装成一个长方体，要想最省包装纸，则尽量将较大的面拼接在一起。
先找出6的因数分解方式，即$6 = 1×1×6 = 1×2×3$，对应三种包装方法，分别计算三种包装方法的表面积后比较大小，表面积最小的即为最省包装纸的包装方法。
答案：包法一：把6个蜡笔盒叠摞在一起，此时新长方体的长、宽不变，高变为$3×6 = 18$（厘米）。
根据长方体表面积公式$S=(ab + ah + bh)×2$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高），可得其表面积为$8×8×2 + 8×18×4 = 128 + 576 = 704$（平方厘米）。
包法二：将6个蜡笔盒排成2层，每层3个，此时新长方体的长不变，宽变为$8×2 = 16$（厘米），高变为$3×3 = 9$（厘米），其表面积为$(8×16 + 8×9 + 16×9)×2 = (128 + 72 + 144)×2 = 344×2 = 688$（平方厘米）。
包法三：将6个蜡笔盒排成2排，每排3个，此时新长方体的长变为$8×3 = 24$（厘米），宽变为$3×2 = 6$（厘米），高不变，其表面积为$(8×24 + 8×6 + 24×6)×2 = (192 + 48 + 144)×2 = 384×2 = 768$（平方厘米）。
因为$688＜704＜768$，
所以包装成长16厘米、宽8厘米、高9厘米的长方体最节省包装纸，最少需要688平方厘米的包装纸。