《2025年暑假作业内蒙古大学出版社八年级数学》

6. 如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD. 若BD= DC,AE= 4,AD= 5,则AB的长为(D)
A.9
B.8
C.7
D.6

答案： 解：由作图知，MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE=4，∠AED=90°，
∴AC=AE+CE=8，CD=AD=5，
∵BD=DC，
∴BD=5，BC=BD+DC=10，
在△ABC中，AC=8，BC=10，AB²+AC²=AB²+8²，BC²=10²=100，
∵AB²+8²=100，
∴AB²=36，
∴AB=6。
答案：D

7. 如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为(A)
A.60海里
B.45海里
C.$20\sqrt{3}$海里
D.$30\sqrt{3}$海里

答案： 解：由题意得，∠APN=60°，∠BPS=30°，PA=30海里，AB为正南方向，
∴∠APB=180°-60°-30°=90°，∠A=60°，
在Rt△APB中，cos∠A=PA/PB，
∴cos60°=30/PB，
∵cos60°=1/2，
∴1/2=30/PB，
解得PB=60海里，
答案：A.60海里

8. 如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形. 若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a＞b),大正方形的面积为$S_{1}$,小正方形的面积为$S_{2}$,则用含$S_{1}$,$S_{2}的代数式表示(a+b)^{2}$正确的是(C)
A.$S_{1}$
B.$S_{2}$
C.$2S_{1}-S_{2}$
D.$2S_{2}-S_{1}$

答案： 解：
∵大正方形边长为直角三角形斜边，
∴由勾股定理得：$S_{1}=a^{2}+b^{2}$。
∵小正方形边长为$a-b$，
∴$S_{2}=(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
∵$S_{1}-S_{2}=(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2})=2ab$，
∴$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=S_{1}+(S_{1}-S_{2})=2S_{1}-S_{2}$。
答案：C

9. 如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)
A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CF,EF
D.GH,AB,CD

答案： 解：
1. 计算各线段长度的平方：
$AB$: 横向2格，纵向2格，$AB^2 = 2^2 + 2^2 = 8$
$CD$: 横向4格，纵向1格，$CD^2 = 4^2 + 1^2 = 17$
$EF$: 横向1格，纵向2格，$EF^2 = 1^2 + 2^2 = 5$
$GH$: 横向3格，纵向2格，$GH^2 = 3^2 + 2^2 = 13$
2. 验证勾股定理：
$AB^2 + EF^2 = 8 + 5 = 13 = GH^2$，满足直角三角形条件。
答案：B

10. 如图,正方形ABCD的面积为8,点A,B都在数轴上,且点A表示的数是-1,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交数轴于点M,则点M表示的数是(B)
A.4
B.-5或3
C.$2\sqrt{2}$
D.$-1-2\sqrt{2}或-1+2\sqrt{2}$

答案： 解：
∵正方形ABCD的面积为8，
∴边长AB=BC=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$。
∵点A表示的数是-1，以A为圆心，AC=4为半径画弧交数轴于点M，
∴点M到点A的距离为4。
当点M在点A左侧时，M表示的数为$-1-4=-5$；
当点M在点A右侧时，M表示的数为$-1+4=3$。
综上，点M表示的数是-5或3。
答案：B

11. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 8,BC= 6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= ______2.

答案： 解：过点D作DE⊥AB于E。
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10。
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DC。
设AD=x，则DC=DE=8-x。
S△ABC=S△ABD+S△BCD，
即(1/2)×AC×BC=(1/2)×AB×DE+(1/2)×BC×DC，
(1/2)×8×6=(1/2)×10×(8-x)+(1/2)×6×(8-x)，
48=(1/2)×(10+6)×(8-x)，
48=8×(8-x)，
6=8-x，
x=2。
AD=2。
（注：原参考答案5有误，经修正后AD=2。）
答案：2

12. 如图,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,点E是CD中点,若BC= 5,AD= 10,BE= $\frac{13}{2}$,则AB的长是______12.

答案： 解：过点E作EF⊥AB于点F，延长BE交AD于点G。
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD//BC，∠A=∠B=90°。
∵E是CD中点，
∴CE=DE。
又
∵∠CEB=∠DEG，∠C=∠D，
∴△CEB≌△DEG（ASA），
∴BG=2BE=13，DG=BC=5，
∴AG=AD-DG=10-5=5。
设AB=x，AF=EF=y，则BF=x-y。
∵EF⊥AB，∠A=90°，
∴EF//AD，
∵E为CD中点，
∴F为AB中点（梯形中位线性质），
∴AF=BF，即y=x-y，得x=2y。
在Rt△ABG中，AB²+AG²=BG²，
即x²+5²=13²，
x²=169-25=144，
x=12（负值舍去）。
12

13. 《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈. 问户高、广各几何?”其意思为：今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈. 问门高、宽各是多少? (1丈= 10尺,1尺= 10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为$(x - 6.8)^{2}+x^{2}=10^{2}$.

答案： 设门高$AB$为$x$尺，因为高比宽多$6$尺$8$寸，$6$尺$8$寸$=6.8$尺，所以门宽$BC$为$(x - 6.8)$尺。
门的形状为矩形，根据矩形的性质，对角线$AC$与长$AB$、宽$BC$构成直角三角形，其中$AC$为斜边，长度为$1$丈，$1$丈$=10$尺。
由勾股定理可得：$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即$(x - 6.8)^{2}+x^{2}=10^{2}$。
故可列方程为$(x - 6.8)^{2}+x^{2}=10^{2}$。

14. 如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为______cm. (杯壁厚度不计)
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答案： 解：将圆柱形玻璃杯侧面展开，得到一个长方形。长方形的长为底面周长16cm，宽为杯高9cm。
点A在展开图中离下底4cm，点B在离上沿1cm处且与A相对，所以在展开图中，点B到上底距离为1cm，到下底距离为9 - 1 = 8cm。
作点A关于展开图长方形上边缘的对称点A'，则A'到下底距离为9 + 4 = 13cm（此处原解析有误，应为A到上边缘距离为9 - 4 = 5cm，对称点A'到下底距离为4 + 2×(9 - 4) = 14cm，或直接计算A'与B在竖直方向的距离：点B离下底8cm，点A离下底4cm，A'与A关于上边缘对称，上边缘离下底9cm，所以A'离下底为9 + (9 - 4) = 14cm，竖直距离为14 - 8 = 6cm）。
展开图中，A与B在水平方向的距离为底面周长的一半，即16÷2 = 8cm。
蚂蚁从B到A的最短路程为A'B的长度，根据勾股定理，A'B = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10cm。
答案：10