《2025年暑假作业内蒙古大学出版社八年级数学》

15. 如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1. “马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为______.

$\sqrt{2}$

答案： 解：设“马”的初始位置为坐标原点$(0,0)$。
第一步，“马”走“日”字，可能落点坐标为：$(1,2)$、$(2,1)$、$(-1,2)$、$(-2,1)$、$(1,-2)$、$(2,-1)$、$(-1,-2)$、$(-2,-1)$。
第二步，从各落点再走“日”字，以$(1,2)$为例，可能落点之一为$(2,0)$；以$(2,1)$为例，可能落点之一为$(0,2)$；同理其他方向可得到落点$(-2,0)$、$(0,-2)$等，其中与出发点$(0,0)$距离最短的为$(1,1)$或$(-1,1)$、$(1,-1)$、$(-1,-1)$（以不同第一步落点可达）。
最短距离为$\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$

16. 如图是“弦图”的示意图,“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,它标志着中国古代的数学成就. 它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形,每个直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c. 请你运用此图形证明勾股定理：$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.

答案： 解：由图可知：
$ S_{正方形}=4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2} $
$ =2ab + b^{2}+a^{2}-2ab $
$ =a^{2}+b^{2} $
$ S_{正方形}=c^{2} $
$ \therefore a^{2}+b^{2}=c^{2} $

17. “儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢. ”又到了放风筝的最佳时节,松松在学习了“勾股定理”之后,为了计算如图所示的风筝的垂直高度CE,他测得以下数据：
①水平距离BD的长为8米；②由手中剩余线的长度得出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松的身高为1.6米.
(1)求风筝的垂直高度CE.
(2)若松松想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米?

答案： 解：
(1)在 $ Rt\triangle CDB $ 中，
由勾股定理得，$ CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=17^{2}-8^{2}=225 $
$ \because CD＞0 $，$ \therefore CD = 15 $
$ \therefore CE = CD + DE = 15 + 1.6 = 16.6 $
答：风筝的垂直高度 $ CE $ 为 16.6 米。
(2)如图，在线段 $ CD $ 上找一点 $ M $，使 $ CM = 9 $
$ \therefore DM = 6 $，连接 $ BM $
在 $ Rt\triangle BDM $ 中，
$ BM=\sqrt{DM^{2}+BD^{2}} $\n$ =\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10 $
$ \therefore BC - BM = 7 $
$ \therefore $ 他应该往回收线 7 米。