《2025年暑假作业内蒙古大学出版社八年级数学》

19. 如图,已知正方形$ABCD的边长为5$,点$E$,$F分别在AD$,$DC$上,$AE = DF = 2$,$BE与AF相交于点G$,点$H为线段BF$的中点,连接$GH$,求$GH$的长。

答案： 解:
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠BAE=∠D=∠C=90°,AB=AD=BC=CD=5,
在△ABE 和△DAF 中,
{AB=AD,
∠BAE=∠D,
AE=DF
∴△ABE≌△DAF(SAS),
∴∠ABE=∠DAF,
在 Rt△ABE 中, ∠BAE=90°,
∴∠ABE+∠BEA=90°,
∴∠DAF+∠BEA=90°,
在△AEG 中, ∠AGE+∠DAF+∠BEA=180°,
∴∠AGE=180°-(∠DAF+∠BEA)=180°-90°=90°,
∴由对顶角性质可得: ∠AGE=∠BGF=90°,
∵在 Rt△BFG 中, 点 H 是 BF 的中点,
∴GH=1/2BF,
∵CF+DF=CD,DF=2,CD=5,
∴CF=CD-DF=5-2=3,
∴在 Rt△BCF 中,
由勾股定理得 BF=√(CF²+BC²)=√(3²+5²)=√(9+25)=√34,
∴GH=1/2BF=√34/2.

20. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE平分\angle BAC$,$CF平分\angle ACD$。

(1) 求证：$\triangle ABE\cong\triangle CDF$；
(2) 当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形$AECF$是矩形？请写出证明过程。

答案： 解:
(1) 证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,AB//CD,
∴∠BAC=∠ACD,
∵AE 平分∠BAC,CF 平分∠ACD,
∴∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC,
∠DCF=∠ACF=1/2∠ACD,
∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE 和△CDF 中, {∠B=∠D,AB=CD,∠BAE=∠DCF
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2) 当△ABC 满足 AB=AC 时, 四边形 AECF 是矩形, 理由如下:
由
(1) 可知, ∠CAE=∠ACF,
∴AE//CF,
∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∴四边形 AECF 是平行四边形,
又
∵AB=AC,AE 平分∠BAC,
∴AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴平行四边形 AECF 是矩形.