《2025年暑假作业内蒙古大学出版社八年级数学》

1. 代数式$\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$有意义时,$x$应满足的条件为(B)
A.$x \neq -1$
B.$x ＞ -1$
C.$x ＜ -1$
D.$x \leq -1$

答案： 要使代数式$\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$有意义，需满足：
1. 分母不为$0$：$\sqrt{x + 1} \neq 0$，即$x + 1 \neq 0$，解得$x \neq -1$；
2. 二次根式被开方数非负：$x + 1 \geq 0$，解得$x \geq -1$。
综合以上，$x + 1 ＞ 0$，即$x ＞ -1$。
答案：B

例2 实数$a$,$b$在数轴上的位置如图所示,化简$|a + 1| - \sqrt{(b - 1)^2} + \sqrt{(a - b)^2} = $2。

方法总结：本题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴,正确得出各项符号是解题的关键。

答案： 解：由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$
$\therefore a + 1 ＞ 0$，$b - 1 ＞ 0$，$a - b ＜ 0$
$\therefore |a + 1| - \sqrt{(b - 1)^2} + \sqrt{(a - b)^2}$
$= (a + 1) - (b - 1) + (b - a)$
$= a + 1 - b + 1 + b - a$
$= 2$
答案：$2$

2. 已知$1 ＜ a ＜ 3$,则化简$\sqrt{1 - 2a + a^2} - \sqrt{a^2 - 8a + 16}$的结果是2a - 5。

答案： 解：$\sqrt{1 - 2a + a^2} - \sqrt{a^2 - 8a + 16}$
$=\sqrt{(a - 1)^2} - \sqrt{(a - 4)^2}$
因为$1 ＜ a ＜ 3$，所以$a - 1 ＞ 0$，$a - 4 ＜ 0$
则原式$=(a - 1) - (4 - a)$
$=a - 1 - 4 + a$
$=2a - 5$
2a - 5

例3 下列各式中,是最简二次根式的是(C)
A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{32}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{a^2}$
答案 C
方法总结：本题考查最简二次根式,解题的关键是熟练运用最简二次根式的概念,本题属于基础题型。

答案： 解：最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式。
A. $\sqrt{\frac{1}{2}}$被开方数含分母，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{7}$满足最简二次根式条件，是最简二次根式；
D. $\sqrt{a^2}=|a|$，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式。
答案：C

3. 下列二次根式中,最简二次根式是(C)
A.$\sqrt{9a}$
B.$\sqrt{5a^3}$
C.$\sqrt{a^2 + b^2}$
D.$\sqrt{\frac{a + 1}{2}}$

答案： 解：A. $\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{5a^3}=a\sqrt{5a}$，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{a^2 + b^2}$，是最简二次根式；
D. $\sqrt{\frac{a + 1}{2}}=\frac{\sqrt{2(a + 1)}}{2}$，不是最简二次根式。
答案：C

例4 下列各式计算正确的是(D)
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 1$
C.$\sqrt{12} ÷ 2 = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
答案 D
方法总结：本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则。

答案： 解：A. $\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B. $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$，故B错误；
C. $\sqrt{12} ÷ 2 = 2\sqrt{3} ÷ 2 = \sqrt{3}$，故C错误；
D. $\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$，故D正确。
答案：D

4. 计算$(\sqrt{27} - \sqrt{12}) × \sqrt{\frac{1}{3}}$的结果是(B)
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.1
C.$\sqrt{5}$
D.3

答案： 解：$(\sqrt{27} - \sqrt{12}) × \sqrt{\frac{1}{3}}$
$=(3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) × \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{3}{3}$
$=1$
B

例5 已知$a = 3 + \sqrt{2}$,$b = 3 - \sqrt{2}$,分别求下列代数式的值：
(1)$a^2 - b^2$；
(2)$a^2 - 2ab + b^2$。
解 (1)$\because a = 3 + \sqrt{2}$,$b = 3 - \sqrt{2}$,
$\therefore a + b = 3 + \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = 6$,$a - b = 3 + \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$,
则$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
$= 6 × 2\sqrt{2}$
$= 12\sqrt{2}$；
(2)由(1)知$a - b = 2\sqrt{2}$,
$\therefore a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
$= (2\sqrt{2})^2$
$= 8$。
方法总结：解决此类问题时,如果代数式的形式已经是最简形式,那么直接代入求值；如果代数式的形式可以通过因式分解或分式约分进行化简,那么通常要先化简,再代入求值。

答案：
(1)$\because a = 3 + \sqrt{2}$，$b = 3 - \sqrt{2}$，
$\therefore a + b = 3 + \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = 6$，$a - b = 3 + \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$，
则$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
$= 6×2\sqrt{2}$
$= 12\sqrt{2}$；
(2)由
(1)知$a - b = 2\sqrt{2}$，
$\therefore a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
$= (2\sqrt{2})^2$
$= 8$。