《2025年暑假作业内蒙古大学出版社八年级数学》

11. 计算：$\sqrt{63} ÷ \sqrt{7} - | - 4 | = $$-1$。

答案： $\sqrt{63} ÷ \sqrt{7} - | - 4 |$
$=\sqrt{63÷7} - 4$
$=\sqrt{9} - 4$
$=3 - 4$
$=-1$
答案：$-1$

12. 若式子$\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$有意义,则实数$x$的取值范围是$x ＞ 3$。

答案： 要使式子$\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$有意义，需满足：
1. 分母不为$0$：$\sqrt{x - 3} \neq 0$，即$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$；
2. 二次根式被开方数非负：$x - 3 \geq 0$，解得$x \geq 3$。
综合以上，$x$的取值范围是$x ＞ 3$。
答案：$x ＞ 3$

13. 计算$(\sqrt{19} + 1)(\sqrt{19} - 1)$的结果等于18。

答案： 解：$(\sqrt{19} + 1)(\sqrt{19} - 1)$
$= (\sqrt{19})^2 - 1^2$
$= 19 - 1$
$= 18$
18

14. 若$3 - \sqrt{2}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,则代数式$(2 + \sqrt{2}a) \cdot b$的值是______2。

答案： 解：因为$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，所以$-2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -1$，则$3 - 2 ＜ 3 - \sqrt{2} ＜ 3 - 1$，即$1 ＜ 3 - \sqrt{2} ＜ 2$。
所以$3 - \sqrt{2}$的整数部分$a = 1$，小数部分$b = 3 - \sqrt{2} - 1 = 2 - \sqrt{2}$。
将$a = 1$，$b = 2 - \sqrt{2}$代入代数式$(2 + \sqrt{2}a) \cdot b$得：
$\begin{aligned}&(2 + \sqrt{2} × 1) × (2 - \sqrt{2})\\=&(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})\\=&2^2 - (\sqrt{2})^2\\=&4 - 2\\=&2\end{aligned}$
2

15. 已知$m$为正整数,若$\sqrt{189m}$是整数,则根据$\sqrt{189m} = \sqrt{3 × 3 × 3 × 7m} = 3\sqrt{3 × 7m}可知m有最小值3 × 7 = 21$。设$n$为正整数,若$\sqrt{\frac{300}{n}}$是大于1的整数,则$n$的最小值为3,最大值为75。

答案： 解：$\sqrt{\frac{300}{n}}=\sqrt{\frac{100×3}{n}}=10\sqrt{\frac{3}{n}}$，因为$\sqrt{\frac{300}{n}}$是大于1的整数，所以$\sqrt{\frac{3}{n}}$必为分数，设$\sqrt{\frac{3}{n}}=\frac{k}{m}$（$k$、$m$为正整数且互质，$m＞1$），则$\frac{3}{n}=\frac{k^2}{m^2}$，$n=\frac{3m^2}{k^2}$。因为$n$为正整数，所以$k^2$整除$3m^2$，又因为$k$、$m$互质，所以$k^2$整除3，故$k=1$，则$n=3m^2$。此时$\sqrt{\frac{300}{n}}=10×\frac{1}{m}$为整数，设$10×\frac{1}{m}=t$（$t$为大于1的整数），则$m=\frac{10}{t}$，因为$m$为正整数，所以$t$是10的正因数且$t＞1$，$t$可取2、5、10。
当$t=10$时，$m=1$，$n=3×1^2=3$；
当$t=5$时，$m=2$，$n=3×2^2=12$；
当$t=2$时，$m=5$，$n=3×5^2=75$。
所以$n$的最小值为3，最大值为75。
3 75

16. (1)计算：$| - 2\sqrt{2} | - 3^{-1} - \sqrt{4} × \sqrt{2} + (\pi - 5)^0$；
(2)计算：$\sqrt{27} ÷ \frac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$。

答案：
(1) 解：原式 $= 2\sqrt{2} - \frac{1}{3} - 2\sqrt{2} + 1 = \frac{2}{3}$。
(2) 解：原式 $= 3\sqrt{3} × \frac{2}{\sqrt{3}} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$。

17. 解方程：$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)x = \sqrt{72} - \sqrt{18}$。

答案： 解：计算左边：$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$
计算右边：$\sqrt{72} - \sqrt{18} = 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
原方程化为：$2x = 3\sqrt{2}$
解得：$x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

18. 已知$a = 2 + \sqrt{5}$,$b = 2 - \sqrt{5}$,求代数式$a^2b + ab^2$的值。

答案： 解：$\because a = 2 + \sqrt{5}$，$b = 2 - \sqrt{5}$，
$\therefore a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
$= (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5})$
$= (4 - 5)×4$
$= -1×4$
$= -4$

19. 如图,正方形$ABCD$的面积为8,正方形$ECFG$的面积为32。

(1)求正方形$ABCD和正方形ECFG$的边长；
(2)求阴影部分的面积。

答案：
(1) 正方形$ABCD$的边长为：$BC=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，正方形$ECFG$的边长为：$CF=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$；
(2)$\because BC=2\sqrt{2}$，$CF=4\sqrt{2}$，$\therefore BF=BC+CF=6\sqrt{2}$，
$\therefore S_{\triangle BFG}=\frac{1}{2}GF\cdot BF=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×6\sqrt{2}=24$，
$\because S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
$\therefore S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECFG}-S_{\triangle BFG}-S_{\triangle ABD}=8+32-24-4=12$。

20. 数学课上,同学们对王老师黑板上的题很感兴趣,他们的答案都不同,且众说纷纭。
题目如下：
化简：$\sqrt{\frac{a}{bc}} + \sqrt{\frac{b}{ca}} + \sqrt{\frac{c}{ab}}$
①小浩说：当$a$,$b$,$c$皆为正数时,化简结果为$\frac{a + b + c}{abc}\sqrt{abc}$；
②小特说：当$a$,$b$,$c$皆为负数时,化简结果为$\frac{b - c - a}{abc}\sqrt{abc}$；
③小凌说：当$a ＜ 0$,$b ＞ 0$,$c ＜ 0$时,化简结果为$\frac{b - a - c}{abc}\sqrt{abc}$；
④小斯说：当$a ＞ 0$,$b ＜ 0$,$c ＜ 0$时,化简结果为$\frac{a - c - b}{abc}\sqrt{abc}$；
(1)以上同学的说法正确的是______①③④；
(2)请在这四个中任选两个判断其正确性。
选①③判断如下：
① 当$a$，$b$，$c$皆为正数时，
原式$=\sqrt{\frac{a^2}{abc}} + \sqrt{\frac{b^2}{abc}} + \sqrt{\frac{c^2}{abc}}$
$=\frac{a}{\sqrt{abc}} + \frac{b}{\sqrt{abc}} + \frac{c}{\sqrt{abc}}$
$=\frac{a + b + c}{\sqrt{abc}}=\frac{(a + b + c)\sqrt{abc}}{abc}$，
$\therefore$①正确。
③ 当$a＜0$，$b＞0$，$c＜0$时，
$abc＞0$，$\frac{a}{bc}=\frac{a}{b \cdot c}$，$b＞0$，$c＜0$，则$bc＜0$，$a＜0$，$\frac{a}{bc}＞0$；同理$\frac{b}{ca}＞0$，$\frac{c}{ab}＞0$，
原式$=\sqrt{\frac{a^2}{abc}} + \sqrt{\frac{b^2}{abc}} + \sqrt{\frac{c^2}{abc}}$
$=\frac{|a|}{\sqrt{abc}} + \frac{|b|}{\sqrt{abc}} + \frac{|c|}{\sqrt{abc}}$
$=\frac{-a}{\sqrt{abc}} + \frac{b}{\sqrt{abc}} + \frac{-c}{\sqrt{abc}}=\frac{b - a - c}{\sqrt{abc}}=\frac{(b - a - c)\sqrt{abc}}{abc}$，
$\therefore$③正确。

答案：
(1) ①③④
(2) 选①③判断如下：
① 当$a$，$b$，$c$皆为正数时，
原式$=\sqrt{\frac{a^2}{abc}} + \sqrt{\frac{b^2}{abc}} + \sqrt{\frac{c^2}{abc}}$
$=\frac{a}{\sqrt{abc}} + \frac{b}{\sqrt{abc}} + \frac{c}{\sqrt{abc}}$
$=\frac{a + b + c}{\sqrt{abc}}=\frac{(a + b + c)\sqrt{abc}}{abc}$，
$\therefore$①正确。
③ 当$a＜0$，$b＞0$，$c＜0$时，
$abc＞0$，$\frac{a}{bc}=\frac{a}{b \cdot c}$，$b＞0$，$c＜0$，则$bc＜0$，$a＜0$，$\frac{a}{bc}＞0$；同理$\frac{b}{ca}＞0$，$\frac{c}{ab}＞0$，
原式$=\sqrt{\frac{a^2}{abc}} + \sqrt{\frac{b^2}{abc}} + \sqrt{\frac{c^2}{abc}}$
$=\frac{|a|}{\sqrt{abc}} + \frac{|b|}{\sqrt{abc}} + \frac{|c|}{\sqrt{abc}}$
$=\frac{-a}{\sqrt{abc}} + \frac{b}{\sqrt{abc}} + \frac{-c}{\sqrt{abc}}=\frac{b - a - c}{\sqrt{abc}}=\frac{(b - a - c)\sqrt{abc}}{abc}$，
$\therefore$③正确。