《2025年暑假作业内蒙古大学出版社八年级数学》

例1 如图,在$□ ABCD$中,已知$AB = 12$,$AD = 8$,$\angle ABC的平分线BM交CD边于点M$,则$DM$的长为(B)

A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
【答案】 B
方法总结：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识,熟练掌握平行四边形的性质,证明$MC = BC$是解题的关键。

答案： 【解析】：本题可根据平行四边形的性质以及角平分线的性质，证明出$\triangle BCM$是等腰三角形，进而求出$DM$的长。
步骤一：根据平行四边形的性质得到相关线段和角的关系
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，可得$AB// CD$，$AB = CD = 12$，$AD = BC = 8$。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ABM = \angle BMC$。
步骤二：根据角平分线的性质得到角的关系
因为$BM$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABM = \angle MBC$。
步骤三：通过等量代换证明$\triangle BCM$是等腰三角形
由$\angle ABM = \angle BMC$，$\angle ABM = \angle MBC$，通过等量代换可得$\angle MBC = \angle BMC$。
在$\triangle BCM$中，等角对等边，所以$MC = BC$。
已知$BC = 8$，则$MC = 8$。
步骤四：求出$DM$的长
因为$CD = 12$，$MC = 8$，所以$DM = CD - MC = 12 - 8 = 4$。
【答案】：B

1. 如图,在$□ ABCD$中,$AB = 8$,点$E是AB$上一点,$AE = 3$,连接$DE$,过点$C作CF// DE$,交$AB的延长线于点F$,则$BF$的长为(C)
A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=8，AB//CD。
∵CF//DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=8。
∵AE=3，AB=8，
∴BE=AB-AE=8-3=5，
∴BF=EF-BE=8-5=3。
答案：C

例2 如图,菱形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,过点$D作DH\perp AB于点H$,连接$OH$,$OH = 4$,若菱形$ABCD的面积为32\sqrt{3}$,则$CD$的长为(C)
A.$4$
B.$4\sqrt{3}$
C.$8$
D.$8\sqrt{3}$
【答案】 C
方法总结：特殊平行四边形的性质与判定的综合应用是对学生综合能力的考查,解决此类问题的关键是熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定,弄清题目条件,正确地选择性质或判定解决问题。

答案： 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，AB=CD。
∵DH⊥AB，
∴∠DHB=90°，
∴OH是Rt△DHB斜边BD上的中线，
∴OH=1/2BD。
∵OH=4，
∴BD=8。
∵菱形ABCD的面积=1/2×AC×BD=32√3，
∴1/2×AC×8=32√3，解得AC=8√3，
∴AO=1/2AC=4√3，BO=1/2BD=4。
在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√[(4√3)²+4²]=√(48+16)=√64=8，
∴CD=AB=8。
答案：C

2. 如图,$E$,$F是正方形ABCD的对角线BD$上的两点,且$BE = DF$。

(1) 求证：$\triangle ABE\cong\triangle CDF$；
(2) 若$AB = 3\sqrt{2}$,$BE = 2$,求四边形$AECF$的面积。

答案：
解:
(1) 证明:
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴CD=AB,∠ABE=∠CDF=45°,
又
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2) 连接 AC, 交 BD 于点 O,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO,
又
∵DF=BE,
∴OE=OF,AO=CO,
∴四边形 AECF 是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形 AECF 是菱形,
∵AB=3√2,
∴AC=BD=6,
∵BE=DF=2,
∴四边形 AECF 的面积=1/2AC·EF=1/2×6×2=6.