《2025年暑假作业内蒙古大学出版社八年级数学》

例1 已知a,b,c均为有理数,试判断关于x的方程$ax^{2}-x-\sqrt {7}x+\sqrt {5}x^{2}-b= c$是不是一元二次方程?如果是,请写出二次项系数、一次项系数及常数项.
【分析】若二次项系数不等于0,则它是一元二次方程;否则,它不是一元二次方程.
【解】将原方程化为一般形式,得$(a+\sqrt {5})x^{2}-(1+\sqrt {7})x-(b+c)= 0$.
∵a是有理数,
∴$a≠-\sqrt {5}$,
即$a+\sqrt {5}≠0$,
∴原方程一定是一元二次方程.
其中二次项系数为$a+\sqrt {5}$,一次项系数为$-(1+\sqrt {7})$,常数项为$-(b+c)$.
※方法总结:解决此类问题的方法是将方程化为一般形式:$ax^{2}+bx+c= 0$,看是不是满足以下四点:(1)$a≠0$;(2)x的最高次数是2;(3)是整式方程;(4)有一个未知数.

答案： 【解析】：
题目要求我们判断给定的方程$ax^{2}-x-\sqrt {7}x+\sqrt {5}x^{2}-b= c$是否为一元二次方程，并找出二次项系数、一次项系数及常数项。
首先，我们将方程化为一般形式，即$(a+\sqrt {5})x^{2}-(1+\sqrt {7})x-(b+c)= 0$。
接下来，我们需要判断二次项系数$a+\sqrt {5}$是否不等于0。
由于a是有理数，而$\sqrt {5}$是无理数，所以$a+\sqrt {5}$不可能等于0，因此，原方程一定是一元二次方程。
根据一元二次方程的一般形式，我们可以直接读出二次项系数、一次项系数及常数项。
【答案】：
方程$ax^{2}-x-\sqrt {7}x+\sqrt {5}x^{2}-b= c$是关于x的一元二次方程，
其中二次项系数为$a+\sqrt {5}$，一次项系数为$-(1+\sqrt {7})$，常数项为$-(b+c)$。

例2 当m为何值时,方程$(m-1)x^{m^{2}+1}+2mx+3= 0$是关于x的一元二次方程?
【分析】本题的题眼是“一元二次方程”,根据一元二次方程的定义可知,x的最高次数是2且二次项系数不能为0.
【解】当$m^{2}+1= 2且m-1≠0$时,方程$(m-1)x^{m^{2}+1}+2mx+3= 0$是关于x的一元二次方程.
由$m^{2}+1= 2$,得$m^{2}= 1$,
即$m= \pm 1$.
由$m-1≠0$,得$m≠1$.
所以当$m= -1$时,方程$(m-1)x^{m^{2}+1}+2mx+3= 0$是关于x的一元二次方程.
※方法总结:在求一元二次方程中字母系数的值或取值范围时,二次项系数不为0这个条件容易被忽略,应引起注意.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的定义。
根据一元二次方程的定义，需要满足两个条件：
x的最高次数是2，即$m^{2}+1=2$。
二次项系数不能为0，即$m-1≠0$。
首先解第一个方程$m^{2}+1=2$，得到$m^{2}=1$，即$m=\pm1$。
然后考虑第二个条件$m-1≠0$，排除$m=1$的情况，所以最终得到$m=-1$。
【答案】：
当$m=-1$时，方程$(m-1)x^{m^{2}+1}+2mx+3=0$是关于x的一元二次方程。