《2025年暑假作业内蒙古大学出版社八年级数学》

1. 将一组数$\sqrt{3},\sqrt{6},3,2\sqrt{3},\sqrt{15},…,3\sqrt{10}$,按下面的方式进行排列：
$\sqrt{3},\sqrt{6},3,2\sqrt{3},\sqrt{15},3\sqrt{2}$；
$\sqrt{21},2\sqrt{6},3\sqrt{3},\sqrt{30},\sqrt{33},6$；
…
若$2\sqrt{3}的位置记为(1,4)$,$2\sqrt{6}的位置记为(2,2)$,则这组数中最大的有理数的位置记为(B)
A.$(5,2)$
B.$(5,3)$
C.$(6,2)$
D.$(6,5)$

答案： 解：
1. 数列变形：$\sqrt{3×1},\sqrt{3×2},\sqrt{3×3},\sqrt{3×4},\sqrt{3×5},\sqrt{3×6},\sqrt{3×7},\ldots,\sqrt{3×90}$，根号内数为$3n$（$n=1,2,\ldots,90$）。
2. 最大有理数条件：$\sqrt{3n}$为有理数，则$3n$为平方数。设$3n=k^2$（$k$为正整数），$n=\frac{k^2}{3}$，$n≤90$，故$k^2≤270$，$k$最大为$16$（$16^2=256$，$17^2=289＞270$）。
3. 确定$n$：$k=16$时，$n=\frac{256}{3}$非整数；$k=15$时，$n=\frac{225}{3}=75$，为整数。此时数为$\sqrt{3×75}=\sqrt{225}=15$，是最大有理数。
4. 位置计算：每行6个数，$75÷6=12\ldots3$，行数为$12+1=13$？（修正：原解析中$n=75$，$75=6×12+3$，应为第13行第3列？但选项无此答案。重新检查：最大有理数应为$3\sqrt{10}=\sqrt{90}$？不，$3\sqrt{10}$是无理数。正确最大有理数为$k=12$时，$n=\frac{144}{3}=48$，数为$\sqrt{3×48}=12$；$k=15$时$n=75$正确，$75=6×5+15$？（原答案选项提示应为第5行第3列，推测$n=75$时，$75-6×(5-1)=75-24=51$？错误。正确步骤：题目中“$3\sqrt{10}$”是最后一个数，对应$n=30$（$\sqrt{3×30}=3\sqrt{10}$），故$n≤30$！修正：原数列最后一项为$3\sqrt{10}=\sqrt{90}$，但题目中“…”表示到$3\sqrt{10}$，即$n=30$（$\sqrt{3×30}=3\sqrt{10}$）。因此$k^2≤90$，$k$最大为9（$9^2=81$），$n=\frac{81}{3}=27$，数为$\sqrt{81}=9$。$27÷6=4\ldots3$，第5行第3列，对应选项B。
结论：位置为$(5,3)$。
答案：B

2. 如果$f(x)= \frac{x^{2}}{1+x^{2}}$,并且$f(\sqrt{1})表示当x= \sqrt{1}$时的值,即$f(\sqrt{1})= \frac{(\sqrt{1})^{2}}{1+(\sqrt{1})^{2}}= \frac{1}{2}$,$f(\sqrt{\frac{1}{2}})表示当x= \sqrt{\frac{1}{2}}$时的值,即$f(\sqrt{\frac{1}{2}})= \frac{(\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}}{1+(\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}}= \frac{1}{3}$,那么$f(\sqrt{1})+f(\sqrt{2})+f(\sqrt{\frac{1}{2}})+f(\sqrt{3})+f(\sqrt{\frac{1}{3}})+… +f(\sqrt{n})+f(\sqrt{\frac{1}{n}})$的值是(A)
A.$n-\frac{1}{2}$
B.$n-\frac{3}{2}$
C.$n-\frac{5}{2}$
D.$n+\frac{1}{2}$

答案： 解：
已知 $ f(x) = \frac{x^2}{1+x^2} $，则：
$f\left(\sqrt{k}\right) + f\left(\sqrt{\frac{1}{k}}\right) = \frac{(\sqrt{k})^2}{1+(\sqrt{k})^2} + \frac{\left(\sqrt{\frac{1}{k}}\right)^2}{1+\left(\sqrt{\frac{1}{k}}\right)^2} = \frac{k}{1+k} + \frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}} = \frac{k}{1+k} + \frac{1}{k+1} = 1$
原式中，从 $ f(\sqrt{2})+f(\sqrt{\frac{1}{2}}) $ 到 $ f(\sqrt{n})+f(\sqrt{\frac{1}{n}}) $ 共 $ n-1 $ 组，每组和为 1，再加上首项 $ f(\sqrt{1}) = \frac{1}{2} $，得：
$\text{原式} = \frac{1}{2} + (n-1) × 1 = n - \frac{1}{2}$
答案：A

3. 实践与探索
(1) 填空：$\sqrt{3^{2}}=$3；$\sqrt{(-5)^{2}}=$5.
(2) 观察(1)中的结果填空：当$a\geq 0$时,$\sqrt{a^{2}}=$$a$；当$a＜0$时,$\sqrt{a^{2}}=$$-a$.
(3) 利用你总结的规律计算：$\sqrt{(x-2)^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}}$,其中$x$的取值范围在数轴上表示如图.

解: 由数轴可得$x$的取值范围为$2 ＜ x ＜ 4$，
$\therefore$原式$=(x - 2) - (x - 4) = 2$。

答案： 解:
(1)$\sqrt{3^{2}} = 3$，$\sqrt{(-5)^{2}} = 5$。
故答案为: 3，5。
(2)当$a \geq 0$时，$\sqrt{a^{2}} = a$；
当$a ＜ 0$时，$\sqrt{a^{2}} = -a$。
故答案为: $a$，$-a$。
(3)由数轴可得$x$的取值范围为$2 ＜ x ＜ 4$，
$\therefore$原式$=(x - 2) - (x - 4) = 2$。
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4. 阅读下面的材料并解决问题.
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}= \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}= \sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}= \sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{2+\sqrt{3}}= \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}= 2-\sqrt{3}$；
…
(1) 观察上式并填空：$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=$$\sqrt{6} - \sqrt{5}$；
(2) 观察上述规律并猜想：当$n$是正整数时,$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=$$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$(用含$n$的式子表示,不用说明理由)；
(3) 请利用(2)的结论计算：
$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+… +\frac{1}{\sqrt{2019}+\sqrt{2018}}+\frac{1}{\sqrt{2020}+\sqrt{2019}})× (\sqrt{2020}+1)$.
解: 原式$= (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{2019} - \sqrt{2018} + \sqrt{2020} - \sqrt{2019}) × (\sqrt{2020} + 1) = (\sqrt{2020} - 1) × (\sqrt{2020} + 1) = (\sqrt{2020})^{2} - 1^{2} = 2020 - 1 = 2019$。

答案： 解:
(1)$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$，故答案为: $\sqrt{6} - \sqrt{5}$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$
$= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})}$
$= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n + 1 - n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$，
故答案为: $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$。
(3)原式$= (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{2019} - \sqrt{2018} + \sqrt{2020} - \sqrt{2019}) × (\sqrt{2020} + 1) = (\sqrt{2020} - 1) × (\sqrt{2020} + 1) = (\sqrt{2020})^{2} - 1^{2} = 2020 - 1 = 2019$。