《2025年假期园地暑假作业七年级数学人教版》

10. 星期天,小明和七名同学共8人去郊游,途中,他用20元钱去买饮料,商店只有可乐和奶茶,已知可乐2元一杯,奶茶3元一杯,如果20元钱刚好用完.
(1)有几种购买方式? 每种方式可乐和奶茶各多少杯?
(2)每人至少一杯可乐且奶茶至少两杯时,有几种购买方式?

答案： 解：（1）设购买可乐$x$杯，奶茶$y$杯，由题意得：
$2x + 3y = 20$，则$x = \frac{20 - 3y}{2}$。
因为$x$，$y$为非负整数，所以$20 - 3y$为偶数且$20 - 3y \geq 0$。
当$y = 0$时，$x = 10$；
当$y = 2$时，$x = 7$；
当$y = 4$时，$x = 4$；
当$y = 6$时，$x = 1$；
当$y = 8$时，$x = -2$（舍去）。
所以有4种购买方式：
方式一：可乐10杯，奶茶0杯；
方式二：可乐7杯，奶茶2杯；
方式三：可乐4杯，奶茶4杯；
方式四：可乐1杯，奶茶6杯。
（2）由题意得：$x \geq 8$（8人每人至少一杯可乐），$y \geq 2$。
由（1）知，满足$x \geq 8$且$y \geq 2$的只有$x = 7$（不满足$x\geq8$），$x = 10$（$y=0$不满足$y\geq2$），$x = 7$时$y=2$，$x=7\geq8$不成立；$x=4$时$y=4$，$x=4＜8$；$x=1$时$y=6$，$x=1＜8$。所以只有方式二：可乐7杯，奶茶2杯（$x=7$不满足$x\geq8$），经重新检查，8人每人至少一杯可乐，则$x\geq8$，所以$x=10$时$y=0$（奶茶不足2杯），$x=7$时$x=7＜8$，故没有满足条件的购买方式？（此处原解答有误，正确应为：由$x \geq 8$，$y \geq 2$，$2x + 3y = 20$，$x = \frac{20 - 3y}{2} \geq 8$，则$20 - 3y \geq 16$，$3y \leq 4$，$y \leq \frac{4}{3}$，与$y \geq 2$矛盾，所以没有符合条件的购买方式。）
（注：原题目（2）中“每人至少一杯可乐”即$x\geq8$，结合$y\geq2$，联立方程无解，故（2）答案应为0种。但根据常见题型，可能“每人至少一杯饮料”，若为每人至少一杯饮料，则$x + y \geq 8$，此时：
由（1）中方式二：$7 + 2 = 9 \geq 8$；方式三：$4 + 4 = 8 \geq 8$；方式四：$1 + 6 = 7 ＜ 8$；方式一：$10 + 0 = 10 \geq 8$（但$y=0$不满足奶茶至少两杯）。所以满足$y\geq2$且$x + y \geq8$的有方式二和方式三，即2种。由于题目表述为“每人至少一杯可乐”，按原题意答案为0种，若为“每人至少一杯饮料”则为2种，此处按原题“每人至少一杯可乐”修正为0种。）
综上：
（1）4种；
（2）0种。
（最终规范答案）
解：（1）设购买可乐$x$杯，奶茶$y$杯，依题意得$2x + 3y = 20$，$x=\frac{20-3y}{2}$。$x,y$为非负整数，解得$\begin{cases}x=10,y=0\\x=7,y=2\\x=4,y=4\\x=1,y=6\end{cases}$，共4种方式：
1. 可乐10杯，奶茶0杯；
2. 可乐7杯，奶茶2杯；
3. 可乐4杯，奶茶4杯；
4. 可乐1杯，奶茶6杯。
（2）由题意$x\geq8$，$y\geq2$。上述4种方式中，$x\geq8$时$y=0$（不满足$y\geq2$），$y\geq2$时$x=7,4,1$（均$x＜8$），故0种购买方式。
答：（1）4种；（2）0种。

11. 开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格.
(2)校运会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品,奖给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有多少种购买方案? 请你一一写出.

答案： 【解析】：
本题主要考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用。
(1) 设每支钢笔的价格为 $x$ 元，每本笔记本的价格为 $y$ 元。
根据题意，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 18 \quad (1) \\2x + 5y = 31 \quad (2)\end{cases}$
从
(1)式，我们可以得到：
$x = 18 - 3y \quad (3)$
将
(3)式代入
(2)式，我们可以得到：
$2(18 - 3y) + 5y = 31$
解这个方程，我们得到：
$y = 5$
将 $y = 5$ 代入
(3)式，我们得到：
$x = 3$
所以，每支钢笔的价格是3元，每本笔记本的价格是5元。
(2) 设买 $a$ 支钢笔，则买 $(48 - a)$ 本笔记本。
根据题意和第一问的结果，我们可以列出以下不等式组：
$\begin{cases}3a + 5(48 - a) \leq 200 \quad (1) \\48 - a \geq a \quad (2)\end{cases}$
解
(1)式，我们得到：
$3a + 240 - 5a \leq 200$
$-2a \leq -40$
$a \geq 20$
解
(2)式，我们得到：
$48 - a \geq a$
$2a \leq 48$
$a \leq 24$
综合两个不等式，我们得到 $a$ 的取值范围是 $20 \leq a \leq 24$。
由于 $a$ 必须是整数（不能买“部分”钢笔），因此 $a$ 可以取 $20, 21, 22, 23, 24$。
对应的 $48 - a$ 分别是 $28, 27, 26, 25, 24$。
所以，共有5种购买方案：
方案一：购买钢笔20支，笔记本28本；
方案二：购买钢笔21支，笔记本27本；
方案三：购买钢笔22支，笔记本26本；
方案四：购买钢笔23支，笔记本25本；
方案五：购买钢笔24支，笔记本24本。
【答案】：
(1) 每支钢笔3元，每本笔记本5元。
(2) 共有5种购买方案：
方案一：购买钢笔20支，笔记本28本；
方案二：购买钢笔21支，笔记本27本；
方案三：购买钢笔22支，笔记本26本；
方案四：购买钢笔23支，笔记本25本；
方案五：购买钢笔24支，笔记本24本。