《2025年通城学典活页检测八年级数学下册浙教版》

9. (16分)如图，点E，F在□ABCD的边BC，AD上，BE = $\frac{1}{3}$BC，FD = $\frac{1}{3}$AD，连结BF，DE.
求证：四边形BEDF是平行四边形.
　　　　　

答案：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，AD//BC.
∵ BE = $\frac{1}{3}$BC，FD = $\frac{1}{3}$AD，
∴ BE = DF. 又
∵ DF//BE，
∴ 四边形BEDF是平行四边形

10. (16分)(郴州中考)如图，在四边形ABCD中，AB = DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE = CF，连结BE，DF，且BE = DF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
　　　　　　

答案： 在△BEA和△DFC中，
∵ $\begin{cases}AB = CD, \\ AE = CF, \\ BE = DF,\end{cases}$
∴ △BEA≌△DFC
∴ ∠EAB = ∠FCD.
∴ 180° - ∠EAB = 180° - ∠FCD，即∠BAC = ∠DCA.
∴ AB//DC. 又
∵ AB = DC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形

11. (20分)如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC = AD，点E在边BC上，AB = AE，∠BAE =∠CAD，连结DE.
(1)求证：BC = ED；
(2)当AC = BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形.
　　　　　　　

答案： （1）
∵ ∠BAE = ∠CAD，
∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠CAD + ∠EAC，即 ∠BAC = ∠EAD. 在 △ABC 和 △AED 中，
∵ $\begin{cases}AB = AE, \\ ∠BAC = ∠EAD, \\ AC = AD,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AED.
∴ BC = ED
（2）由（1），得△ABC≌△AED，
∴ ∠B = ∠AED.
∵ BC = ED，AC = AD，AC = BC，
∴ BC = AD = ED.
∴ ∠EAD = ∠AED.
∴ ∠B = ∠EAD.
∵ AB = AE，
∴ ∠AEB = ∠B.
∴ ∠EAD = ∠AEB.
∴ AD//BC. 又
∵ AD = BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形