南方新课堂金牌学案八年级数学人教版
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1. 请你按照上面的步骤作出如图2所示的平行四边形ABCD的重心G；
答案：略（按步骤连接对角线，作三角形重心，连接重心交点）
解析：步骤1：连接AC，分别作△ABC、△ACD的重心G₁、G₂；步骤2：连接BD，分别作△ABD、△BCD的重心G₃、G₄；步骤3：连接G₁G₂、G₃G₄，交点G即为重心。
2. 根据(1)中的作图，我们发现点G是平行四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，请你用所学知识说明$G_1G_2=\frac{1}{3}BD$。（提示：平行四边形两条对角线的交点也是这两条对角线的中点）
答案：设平行四边形ABCD对角线交于O，G₁、G₂分别为△ABC、△ACD的重心，重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍，∴G₁O=$\frac{1}{3}$BO，G₂O=$\frac{1}{3}$DO，∵BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，∴G₁G₂=G₁O + G₂O=$\frac{1}{3}$BO + $\frac{1}{3}$DO=$\frac{1}{3}$(BO + DO)=$\frac{1}{3}$BD
解析：∵平行四边形对角线互相平分，设AC、BD交于O，则O为AC、BD中点。G₁是△ABC重心，∴G₁在BO上，且BG₁=$\frac{2}{3}$BO，G₁O=BO - $\frac{2}{3}$BO=$\frac{1}{3}$BO。同理G₂在DO上，G₂O=$\frac{1}{3}$DO。∵BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，∴G₁G₂=G₁O + G₂O=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$BD + $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{3}$BD。
