南方新课堂金牌学案八年级数学人教版
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9. 在△ABC中，∠B + ∠C=2∠A，∠A:∠B=4:5，则∠C的度数为
45°
。
答案：45°
解析：∵∠A + ∠B + ∠C=180°，∠B + ∠C=2∠A，
∴∠A + 2∠A=180°，3∠A=180°，∠A=60°。
∵∠A:∠B=4:5，设∠A=4k，∠B=5k，4k=60°，k=15°，∠B=5×15°=75°，
∴∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 60° - 75°=45°
10. 如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线。
(1)若∠ACB=50°，∠BAD=65°，求∠AEC的度数；
(2)若AB=9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长。
答案：解：(1) ∵ $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高，∴ $\angle ADB = 90^{\circ}$。
∵ $\angle BAD = 65^{\circ}$，∴ $\angle ABD = 90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
∵ $CE$ 是 $\angle ACB$ 的平分线，$\angle ACB = 50^{\circ}$，
∴ $\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB = 25^{\circ}$。
∴ $\angle AEC=\angle ABD+\angle ECB = 25^{\circ}+25^{\circ}=50^{\circ}$。
(2) ∵ $BF$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，∴ $AF = CF$。
∵ $\triangle BCF$ 与 $\triangle BAF$ 的周长差为 $3$，∴ $(BC + CF+BF)-(AB + AF + BF)=3$。∴ $BC - AB = 3$。
∵ $AB = 9$，∴ $BC = 12$。
11. 如图，∠MON=90°，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D。试问：随着点A，B的运动，∠D的大小会变化吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由。
答案：不会变化，∠D=45°
解析：∵BC平分∠ABN，AD平分∠OAB，
∴∠ABN=2∠CBN，∠OAB=2∠BAD。
∵∠ABN=∠AOB + ∠OAB=90° + 2∠BAD，
∠CBN=∠D + ∠BAD，
∴2(∠D + ∠BAD)=90° + 2∠BAD，
2∠D + 2∠BAD=90° + 2∠BAD，
2∠D=90°，
∠D=45°。
12. 如图，将一块直角三角尺DEF(∠D=90°)放置在锐角三角形ABC上，使得该三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C。
(1)如图1，当点D在△ABC内时，
①小明同学不断改变∠A的度数，探究的结果如下：若∠A=30°，则∠ABD + ∠ACD=60°；若∠A=50°，则∠ABD + ∠ACD=40°；若∠A=70°，则∠ABD + ∠ACD=____°。
②请判断∠ABD，∠ACD与∠A之间的数量关系，并说明理由。
(2)如图2，当点D在△ABC外，且在边AC的右侧时，DE与AC交于点H，请直接写出∠ABD，∠ACD与∠A之间的数量关系。
答案：(1)①20；②∠ABD + ∠ACD=90° - ∠A；(2)∠ACD - ∠ABD=90° - ∠A
解析：(1)①在△ABC中，∠ABC + ∠ACB=180° - ∠A，
在△DBC中，∠DBC + ∠DCB=90°，
∴∠ABD + ∠ACD=(∠ABC - ∠DBC) + (∠ACB - ∠DCB)=180° - ∠A - 90°=90° - ∠A，
当∠A=70°时，∠ABD + ∠ACD=20°。
②由①得∠ABD + ∠ACD=90° - ∠A。
(2)∠ABD - ∠ACD=90° - ∠A
