南方新课堂金牌学案八年级数学人教版
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【问题探究】观察图1,填写下表,并寻找规律:
多边形的边数
3
4
5
6
...
n
分成的三角形的个数
1
____
____
____
...
____
答案：2；3；4；n-2
(1)将一个四边形进行三角剖分,你有多少种剖分方法?
2种
五边形呢?
5种
画图说明所有的三角剖分方法.
答案：四边形2种，五边形5种
解析：四边形：从一个顶点出发可引1条对角线，有2种剖分方法（连接不同对角线）；
五边形：从一个顶点出发可引2条对角线，有5种剖分方法（根据欧拉公式D₅=5）。
(2)1751年，瑞士数学家欧拉(Euler,1707—1783)向德国-俄国数学家哥德巴赫(Goldbach,1690—1764)提出了一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数(Dₙ)的公式。后来数学家发现并证明：当n≥3时，$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n - 6}{n}(D_3 = 1)$。请你利用上述公式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数。六边形
14
种，七边形
42
种。
答案：六边形14种，七边形42种。
解析：已知$D_3=1$。
n=3时，$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3 - 6}{3}=\frac{6}{3}=2$，则$D_4=2×D_3=2×1=2$（验证四边形结果正确）。
n=4时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4 - 6}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$，则$D_5=\frac{5}{2}×D_4=\frac{5}{2}×2=5$（验证五边形结果正确）。
n=5时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5 - 6}{5}=\frac{14}{5}$，则$D_6=\frac{14}{5}×D_5=\frac{14}{5}×5=14$。
n=6时，$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6 - 6}{6}=\frac{18}{6}=3$，则$D_7=3×D_6=3×14=42$。
