14．(城西中学)设F₁、F₂是双曲线-=1(a>0)的两个焦点

⑴若点P在双曲线上,且·＝0,||·||=2，求双曲线的方程。

⑵设曲线C是以⑴中的双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆，若F₁’、F₂’分别是其左右 焦点，点Q是椭圆上任一点，M(2，)是平面上一点，求|QM|+|QF₁’|的最大值。

正确答案：⑴因为·＝0，∴⊥依题意

|｜²+||²=||²　　①

|｜+||=2　　　 ②

||｜-|||=4　　③

①-③²：2||·||=4a，将②代入得a=1，

所以双曲线的方程为-y²=1

⑵由⑴及题意可得C的方程为+y²=1，所以|QF₁’|+|QF₂’|=2

且F₁’(-2,0),F₂’(2,0)，显然M点在椭圆内部。

所以|QM|+|QF₁’|=|QM|+2-|QF₂’|≤2+|MF₂’|

如图当|QM|-|QF₂’|=|MF₂’|时　|QM|-|QF₂’|的值最大

所以|QM|+|QF₁’|的最大值为2+

错因：第二问的转化出错。

13．(磨中)设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0，)

到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点坐标。

　 正确答案：+y²=1

　 错语原因：①利用相切的条件求解设有理论依据

②求最值时忽视了b的范围而没有加以讨论，导致解题过程出错。

12．(磨中)设抛物线y²=2Px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O。

　 正确答案：见2001年全国高考理19题

　 错误原因：设直线斜率为k，考虑到一般情况，而忽视了特殊情况。

11．(搬中) 已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。

　　 错解 设A、B两点坐标分别为、

　　 因为

　　 所以

　　 又椭圆中心为(1，0),右准线方程为x=5

　　 所以

　　 即

　　 同理

　　 所以

　　 设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得

　　 所以

　　 代入(1)式得

　　 所以

　　 所以|有最小值3,无最大值。

　　 剖析　 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有

　 所以有最小值为 3，最大值为25/4

10．(搬中)已知双曲线,问过点A(1，1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

　　 错解　 设符合题意的直线存在，并设、

　　 则

　　 (1)得

　　 因为A(1，1)为线段PQ的中点，

　　 所以

　　 将(4)、(5)代入(3)得

　　 若，则直线的斜率

　　 所以符合题设条件的直线存在。

　　 其方程为

　　 剖析　 在(3)式成立的前提下，由(4)、(5)两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

　　 应在上述解题的基础上，再由

　　 得

　　 根据,说明所求直线不存在。

9． (搬中)椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P()到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。

　　 错解　 设所求椭圆方程为

　　 因为

　　 所以a=2b

　　 于是椭圆方程为

　　 设椭圆上点M(x,y)到点P 的距离为d,

　　 则：

　　 所以当时，

　　 有

　　 所以所求椭圆方程为

　　 剖析　 由椭圆方程

　　 得

　　 由(1)式知是y的二次函数，

　　 其对称轴为

　　 上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类，

　　 其正确应对f(y)=的最值情况进行讨论：

　　 (1)当，即时

　　 =7

　　 ,方程为

　　 (2)当,

　　 即时，

　　 ，与矛盾。

　　 综上所述，所求椭圆方程为

8． (搬中)已知双曲线的离心率e=, 过点A()和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。

　　 错解　 由已知，有

　　 解之得：

　　 所以双曲线方程为

　　 把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：

　　 所以(1)

　　 设CD中点为，

　　 则APCD，且易知：

　　 所以

　　 　(2)

　　 将(2)式代入(1)式得

　　 解得m>4或

　　 故所求m的范围是

　　 剖析　 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将代入(1) 式时，m受k的制约。

　　 因为

　　 所以

　　 故所求m的范围应为

　　 m>4或

7．(搬中)点P与定点F(2，0)的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点距离的最值。

　　 错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则

　　 即

　　 两边平方、整理得

　　 =1　　 (1)

　　 由此式可得：

　　 因为

　　 所以

　　 剖析　 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决

　　 即：当时，

6．(搬中) 已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。

　　 错解：圆O₂：

　　 即为

　　 所以圆O₂的圆心为,半径,

　　 而圆的圆心为,半径,

　　 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r

　　 则且

　　 所以

　　 即

　　 化简得

　　 即为所求动圆圆心的轨迹方程。

　　 剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。

　　 事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。

　　 且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为

5. (石庄中学)在函数的图象上有A、B两动点，满足AB∥x轴，点M(1,m)(m为常数，m>3)是三角形ABC的边BC的中点，设A点横坐标t，△ABC的面积为f (t).

　　　 (1) 求f (t)的解析表达式；

　　　 (2) 若f (t)在定义域内为增函数，试求m的取值范围；

　 　(3) 是否存在m使函数f (t)的最大值18？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由。

　　　 解：(1) f (t) = 2t (m-3t²)　　

　　　　　　　 　 (2) 　　 　∵上是增函数.

　　　　　　　 　　 ∴　 　　即上恒成立.

　　　　　　　　　　 　　　 即m的取值范围

　　　　　　　 　 (3) 令f’(t)=0，得(其中舍去)

　　　　　　　　　　 　即时，在处　 =12，

此时m的值不存在.

令　　 ，即m>9由(2)知f (t)在 为增函数，

，由2(m-3)=18得m=12

综上只存在m=12适合题意。