4．(石庄中学)设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇，设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？

解：设直线CD的方程为

∵圆心O到直线CD的距离3

∴　　　　 　　　　　　　 ①

∵V_A：V_B=3：1

在相同时间内有

S_A：S_B=3：1

∴3b=a+b+　　　　　　　　　 ②

由①②解得

a=5

b=

∴CD直线方程为

∴A与B在距村心北方km处相遇

3. (石庄中学) 如图，A村在B地正北cm处，C村在B地正东4km处，已知弧形公路PQ上任一点到B，C距离之和为8km，现要在公路旁建造一个交电房M分别向A村、C村送电，但C村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电，要使得所用电线最短，变电房M应建在A村的什么方位，并求出M到A村的距离.

解：，∴M在以B，C为焦点，长轴长为8的椭圆上，建立如图所示的坐标系，则B(-2，0)，C(2，0)， ，

　　 求得椭圆方程为，其离心率，右准线为.

　　 作MN⊥l于N，则，由平面几何知识知，当直线MN通过A时，，此时M的纵坐标为,

　　 ∴M的横坐标为.

　　 故得M在A正东且距A为()km处.

2. (如中)已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2)　 B (1,2)都在双曲线上，(1)求点的坐标；(2)求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；(3)若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。

　 解答：(1)由得：

　　　　 故　

(2)设点

　　 则又双曲线的定义得

　 又　 或

　　 　 点的轨迹是以为焦点的椭圆

　 除去点或　　 除去点　 图略。

(3)联列：消去得

　　 　整理得：

　 当时　 得　 从图可知：，

　 又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5

易错原因：(1)非标准方程求焦点坐标时计算易错；(2)求点的轨迹时易少一种情况；(3)对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。

1. (如中)已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B，D两点

(1)若正方形中心M为(2，2)时，求点N(b,c)的轨迹方程。

(2)求证方程的两实根，满足

解答：(1)设

　　　 因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得

　　 　　则代入(1)

　　 得　　

　　 故点的方程是一条射线。

　 (2)设

　　 同上

　　 (1)-(2)得

　　 (1)+(2)得

　　 (3)代入(4)消去得

　　 得　　 又即的两根满足 　

　 故。

易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。

45．(案中)已知∥,O 为坐标原点，当t变化时，则点 P的轨迹方程为　　　　　

正确答案：抛物线y²=4x

错误原因：本题是以向量形式给出的已知条件，故很多学生未能看出这些条件的几何意义。

44．(案中)已知点F是椭圆的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x,y)

(x≥0)是椭圆上的一个动点，则的最大值是　　　　　　

正确答案：5

错误原因：找不到合适的解法，另有部分人未能注意到x≥0这一条件。

43．(案中)已知F₁，F₂分别为双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若△POF₂是面积为1的正三角形，则b的值为　　　　　　　

正确答案：

错误原因：点P()未能正确写出。

42．(案中)如果不论实数b取何值，直线y=Kx+b和双曲线x²-2y²=1总有公共点，那么K的取值范围为　　　　　

正确答案：(-)

错误原因：因为出现了两个字母K和b，所以无法处理。

41．(案中)双曲线上一点P到左焦点距离为20,则点P到右准线的距离为　　　　

正确答案：

错误原因：忽视本题应为两解。

40．(案中)设x,y,z满足约束条件组则t=3x+6y+4z的最大值为　　　　　

正确答案：5

错误原因：未想到利用等量关系z=1-x+y转化为我们熟悉的线性规则问题。