24．(薛中)已知定点A(3，0)，B(0，3)如果线段AB与抛物线有且仅有一个公共点，试求m的取值范围。

　　 答案：设线段AB上任意一点，可看作线段AB的定比分点，所以　 　，由线段AB与抛物线C有且仅有一个公共点，所以方程有且仅有一个正根，所以 1或　 2

解1得m=3, 解2得m>，综上所述m>或m=3。

错解：直线AB的方程为y=-x+3，因为AB与抛物线C有且仅有一个公共点，所以方程的判别

。

　　 错因：审题不严，显现条件弱用，把求线段AB与抛物线C的交点变成了求直线AB与抛物线C的交点。

23．(薛中)直线与双曲线相交于点A，B，是否存在这样的实数a，使得A，B关于直线对称？如果存在，求出实数a，如果不存在，请说明理由。

　　 答案：设存在实数a，使得A，B关于y=2x对称，又设，，则而由　 作差整理可得：

由，故不存在这样的实数a。

　　 　错解：

　　 错因：没有挖掘隐含条件，而轴对称的第二个条件直线AB与直线垂直，造成解题错误。

22．(薛中)设椭圆方程为，试求满足下列条件的圆方程：1圆心在椭圆的长轴上；2与椭圆的短轴相切；3与椭圆在某点处也相切。

　　 答案：根据题意设圆方程为1，化椭圆方程为2，由12消去y，得：，由圆与椭圆相切：即所求圆的方程为：，另由图可知也合题意。

　　 错解：

　　 错因：漏解

21．(丁中)求经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程。

错解：无，。

错因：把相切作为直线与双曲线有且仅有一个公共点的充要条件。

正 解：当存在时，设所求直线方程为，代入双曲线，

　　　　 得

(1)　　　 当时，直线方程为与双曲线只有一个公共点。

(2)　　　 当时，直线方程为与双曲线只有一个公共点。

(3)　　　 当直线和双曲线相切时，仅有一个公共点，此时有

得，可得直线方程为

　　　　 当不存在时，直线也满足题意。

故经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程有四条，它们分别为：，，，。

20．(丁中)已知双曲线，过点B(1，1)能否作直线，使直线与双曲线交于两点，且B是线段的中点？样的直线若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。

错解：直线为。

错因：忽视了直线与双曲线交于两点的隐含条件。

正解：假设存在直线，设，则有

得

显然

由中点公式得，，

由斜率公式得斜率

又使直线与双曲线交于两点，由得，此方程必有两个不相等的实数根。而此时，方程无实数根，即直线与双曲线无交点，因此直线不存在。

19．(丁中)直线y=kx+1与双曲线3x²－y²=1相交于不同的两点A、B：

(1)求实数k的取值范围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求该圆的直径.

错解：

错因：由可得，忽视，仅考虑

正解：k的取值范围是

18．(丁中)求与椭圆有公共顶点，且离心率为的双曲线方程.

错解：

错因：忽视了椭圆的短轴上的两个顶点。

正解：，

17．(丁中)已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x²+y² = m²，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围。

错解：,

错因：将题中的实数m当成了圆的半径，误认为m>0。

正解：且

16．(一中)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A、B两点，且

　 (1)求直线AB的方程；

　 (2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

解：(1)设直线AB：代入得

　　 　　　　(＊)

　　　　 令A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁、x₂是方程的两根

　　　　 ∴　 　且 　　

　　　　 ∵　 　　∴　 N是AB的中点　 ∴　

　　　　 ∴　 　　k = 1　　 ∴AB方程为：y = x + 1 

　 (2)将k = 1代入方程(＊)得　 或 

　　　　 由得，

　　　　 ∴　 ，

　　　　 ∵　 　　∴　 CD垂直平分AB　　 ∴　 CD所在直线方程为

　　　　 即代入双曲线方程整理得

　　　　 令，及CD中点

　　　　 则，，　 ∴，　

　　　　 |CD| =，

　　　　 ，即A、B、C、D到M距离相等

　　　　 ∴　 A、B、C、D四点共圆

15．(一中)如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(I)建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(II)如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．

解：(I)以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A(2，0)，则椭圆方程为

　　　 ∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|

　　　 又∵， ∴AC⊥BC

　　　 又∵|BC|＝2|AC|　 ∴|OC|＝|AC|

　　　 ∴△AOC为等腰直角三角形　

　　　 ∴点C的坐标为(1，1)　 ∴点B的坐标为(－1，－1)

　　　 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得，

　　　 则求得椭圆方程为　　　

　　　 (II)由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴)，不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k(x－1)+1，y＝－k(x－1)+1

　　　 由　 得(1+3k²)x²－6k(k－1)x+3k²－6k－1＝0 *)

　　　 ∵点C(1，1)在椭圆上，

　　　 ∴x＝1是方程(*)的一个根，∴x_P•1＝即x_P＝

　　　 同理x_Q＝　

　　　 ∴直线PQ的斜率为(定值)

又∠ACB的平分线也垂直于OA

　　　 ∴直线PQ与AB的斜率相等(∵k_AB=)

　　　 ∴向量，即总存在实数，使成立．