14．(城西中学)设F₁、F₂是双曲线-=1(a>0)的两个焦点

⑴若点P在双曲线上,且·＝0,||·||=2，求双曲线的方程。

⑵设曲线C是以⑴中的双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆，若F₁’、F₂’分别是其左右 焦点，点Q是椭圆上任一点，M(2，)是平面上一点，求|QM|+|QF₁’|的最大值。

正确答案：⑴因为·＝0，∴⊥依题意

|｜²+||²=||²　　①

|｜+||=2　　　 ②

||｜-|||=4　　③

①-③²：2||·||=4a，将②代入得a=1，

所以双曲线的方程为-y²=1

⑵由⑴及题意可得C的方程为+y²=1，所以|QF₁’|+|QF₂’|=2

且F₁’(-2,0),F₂’(2,0)，显然M点在椭圆内部。

所以|QM|+|QF₁’|=|QM|+2-|QF₂’|≤2+|MF₂’|

如图当|QM|-|QF₂’|=|MF₂’|时　|QM|-|QF₂’|的值最大

所以|QM|+|QF₁’|的最大值为2+

错因：第二问的转化出错。