《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

8. 已知某批零件的尺寸$ X $服从正态分布$ N(10,\sigma^{2}) $,且满足$ P(X ＜ 9)=\frac{1}{6} $,零件的尺寸与10的误差不超过1即合格.从这批零件中抽取$ n $个,若要保证抽取的合格零件不少于2个的概率不低于0.9,则$ n $的最小值为(C)

A.7
B.6
C.5
D.4

答案： 8.C 解析：因为$X$服从正态分布$N(10,\sigma^2)$，且$P(X＜9)=\frac{1}{6}$，所以$P(9\leq X\leq11)=1-2P(X＜9)=\frac{2}{3}$，即每个零件合格的概率为$\frac{2}{3}$. 易知合格零件不少于$2$个的对立事件是合格零件的个数为$0$或$1$，合格零件的个数为$0$或$1$的概率为$C_3^0×(\frac{1}{3})^3+C_3^1×\frac{2}{3}×(\frac{1}{3})^2$. 根据题意，得$1-[C_3^0×(\frac{1}{3})^3+C_3^1×\frac{2}{3}×(\frac{1}{3})^2]\geq0.9$. 令$f(n)=(2n+1)·(\frac{1}{3})^n(n\in N^*)$. 因为$\frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac{2n+3}{6n+3}＜1$，所以$f(n)$在定义域上单调递减. 又因为$f(5)＜0.1$，$f(4)＞0.1$，所以不等式$(2n+1)·(\frac{1}{3})^n\leq0.1$的解集为$\{n|n\geq5,n\in N^*\}$. 所以$n$的最小值为$5$. 故选C.

9. 已知随机变量$ X $的分布列为

且$ a $,$ b $,$ c $成等差数列,则下列结论正确的是(ABD)

A.$ D(bX + 1)=\frac{1}{16}D(X) $
B.$ P(|X| = 1)=0.5 $
C.若$ E(aX)=0.08 $,则$ a = 0.1 $
D.$ a - c $可能等于0.1

答案： 9.ABD 解析：依题意，得$a+b+c=3b=0.75$，解得$b=0.25$，则$a+c=0.5$. 对于$A$，$D(\frac{1}{4}X+1)=\frac{1}{16}D(X)$，故A正确；对于$B$，$P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=0.5$，故B正确；对于$C$，$E(X)=-a+c+0.5=1-2a$，则$E(aX)=aE(X)=a(1-2a)=0.08$，解得$a=0.1$或$a=0.4$，故C错误；对于$D$，当$a=0.3$，$c=0.2$时，$a-c=0.1$，故D正确. 综上所述，选项ABD符合题意.

10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数$ A = a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5} $(例如10100),其中$ A $的各位数中$ a_{k}(k = 1,2,3,4,5) $出现0的概率为$\frac{1}{3}$,出现1的概率为$\frac{2}{3}$.记$ X = a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} $,则当程序运行一次时,下列结论正确的是(BCD)

A.$ X $服从超几何分布
B.$ P(X = 1)=\frac{10}{243} $
C.$ E(X)=\frac{10}{3} $
D.$ D(X)=\frac{10}{9} $

答案： 10.BCD 解析：由二进制数$A$的特点知，每一个数位上的数字只能填$0$或$1$，且每个数位上的数字互不影响，所以$X$的所有可能取值为$0,1,2,3,4,5$，且$X$的取值表示$1$出现的次数. 由二项分布的定义，可得$X\sim B(5,\frac{2}{3})$. 故A错误.$P(X=1)=C_5^1×\frac{2}{3}×(\frac{1}{3})^4=\frac{10}{243}$，故B正确. 因为$X\sim B(5,\frac{2}{3})$，所以$E(X)=5×\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$，$D(X)=5×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{10}{9}$. 故CD正确. 综上所述，选项BCD符合题意.

11. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项,某地区高三男生的“50米跑”测试成绩数据$ \xi $服从正态分布$ N(9,\sigma^{2}) $,且$ P(\xi\leqslant 8)=0.1 $.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩数据中随机抽取5个,其中在$(8,10)$内的个数记为$ X $,则下列说法正确的是(ACD)

A.$ P(8 ＜ \xi ＜ 10)=0.8 $
B.$ P(9 ＜ \xi ＜ \frac{19}{2}) ＜ 0.2 $
C.$ E(X)=4 $
D.$ P(X\geqslant 1) ＞ 0.95 $

答案： 11.ACD 解析：对于A，由正态分布的对称性可知，$P(\xi\leq8)=P(\xi\geq10)=0.1$，则$P(8＜\xi＜10)=1-2×0.1=0.8$，故A正确；对于B，由$P(8＜\xi＜10)=0.8$，可得$P(9＜\xi＜10)=0.4$，由正态密度曲线，可得$P(9＜\xi＜\frac{19}{2})＞\frac{1}{2}×0.4=0.2$，故B错误；对于C，由题意，得$X\sim B(5,0.8)$，则$E(X)=5×0.8=4$，故C正确；对于D，由$X\sim B(5,0.8)$，得$P(X=0)=C_5^0×0.8^0×0.2^5=0.00032$，则$P(X\geq1)=1-0.00032=0.99968＞0.95$，故D正确. 综上所述，选项ACD符合题意.

12. 已知随机变量$ X $的分布列为

则$ \sigma(5X + 1)= $$\sqrt{51}$.

答案： 12.$\sqrt{51}$ 解析：由题意，得$0.1+0.2+a+2a+0.4=1$，解得$a=0.1$，所以$E(X)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.1+1×0.2+2×0.4=0.6$，$D(X)=(-2-0.6)^2×0.1+(-1-0.6)^2×0.2+(0-0.6)^2×0.1+(1-0.6)^2×0.2+(2-0.6)^2×0.4=2.04$. 所以$D(5X+1)=25D(X)=51$，则$\sigma(5X+1)=\sqrt{D(5X+1)}=\sqrt{51}$.

13. 某超市热销的一种袋装面粉的质量$ X $(单位:$ \mathrm{kg} $)服从正态分布$ N(15,\sigma^{2}) $,且满足$ P(X ＜ 15.5)=0.8 $.若从该超市中任意抽取一袋这种面粉,则其质量在14.5～15.5$ \mathrm{kg} $之间的概率为0.6.

答案： 13.$0.6$ 解析：因为袋装面粉的质量$X$（单位：$kg$）服从正态分布$N(15,\sigma^2)$，且满足$P(X＜15.5)=0.8$，所以$P(X\geq15.5)=1-0.8=0.2$，则$P(X\leq14.5)=0.2$. 故从该超市中任意抽取一袋这种面粉，其质量在$14.5\sim15.5kg$之间的概率为$1-0.2-0.2=0.6$.