《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

17. (15分)新高考改革后,某省采用“$ 3 + 1 + 2 $”高考模式,“$ 3 $”指的是语文、数学、外语,这三门科目是必选的;“$ 1 $”指的是在物理、历史中选择1门;“$ 2 $”指的是在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门.
(1) 若按照“$ 3 + 1 + 2 $”模式选科,求甲、乙两名学生恰有4门学科相同的选法种数.
(2) 某教育部门为了调查学生语数外三科成绩,现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4 000名参加语数外的网络测试,满分为450分,假设该次网络测试成绩服从正态分布$ N(240,60^{2}) $.
① 估计4 000名学生中成绩在180分到360分之间的人数;
② 某校对外宣传“我校200名学生参与此次网络测试,有10名学生获得425分以上的高分”,请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
附:若$ X\sim N(\mu,\sigma^{2}) $,则$ P(\mu - \sigma\leqslant X\leqslant \mu + \sigma)\approx 0.6827 $,$ P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant \mu + 2\sigma)\approx 0.9545 $,$ P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant \mu + 3\sigma)\approx 0.9973 $.

答案： 17.解：
(1)甲、乙两名学生必选语文、数学、外语，若另一门相同的学科是物理、历史中的一门，则有$C_2^1=2$（种）选法，在生物、化学、思想政治、地理$4$门中甲、乙选择不同的$2$门，有$C_4^2C_2^1=6$（种）选法，共有$2×6=12$（种）选法；若另一门相同的学科是生物、化学、思想政治、地理$4$门中的一门，则有$A_4^2C_4^2=48$（种）选法. 所以甲、乙两名学生恰有$4$门学科相同的选法共有$12+48=60$（种）.
(2)①设此次网络测试的成绩为$X$（单位：分），则$X\sim N(240,60^2)$，所以$\mu=240$，$\sigma=60$，$\mu+2\sigma=240+120=360$，$\mu-\sigma=240-60=180$，则$P(180\leq X\leq360)=P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)=P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu)+P(\mu\leq X\leq\mu+2\sigma)\approx\frac{0.6827}{2}+\frac{0.9545}{2}=0.8186$. 因为$4000×0.8186\approx3274$（人），所以估计$4000$名学生中成绩在$180$分到$360$分之间的人数为$3274$.
②$\mu+3\sigma=240+3×60=420＜425$，$P(X＞\mu+3\sigma)=\frac{1-P(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma)}{2}\approx\frac{1-0.9973}{2}=0.00135$. 因为$4000×0.00135=5.4\approx5$（人），所以$4000$名学生中约有$5$人的成绩高于$420$分. 所以“某校$200$名学生参与此次网络测试，有$10$名学生获得$425$分以上的高分”的说法错误，此宣传语不可信.