《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

8. 某高校要在假期安排甲、乙等5名大学生到A，B，C三家公司进行社会实践，要求每家公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去A公司，则不同的安排方式有 (D)

A.50种
B.56种
C.60种
D.62种

答案： 8.D 解析：因为甲和乙都不能去A公司，所以对去A公司的学生人数进行分类讨论.若去A公司的只有1人，则有3种情况，然后将剩余的4人分为两组，再将这两组分配给B,C两家公司，此时有$3(C_4^1+\frac{C_4^2C_2^2}{A_2^2})A_2^2=42($种)不同的安排方式；若去A公司的有2人，有$C_3^2=3($种)情况，然后将剩余的3人分为两组，再将这两组分配给B,C两家公司，此时有$3C_3^1A_2^2=18($种)不同的安排方式；若去A公司的有3人，只需将甲、乙两人分配给B,C公司即可，每家公司1个人，此时有$A_2^2=2($种)不同的安排方式.由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为42+18+2=62.故选D.

9. 若$(3-x)^{10}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+·s+a_{10}x^{10}$，则下列说法正确的是 (ABC)

A.$a_{0}=3^{10}$
B.$|a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+·s+|a_{9}|+|a_{10}|=4^{10}$
C.$(3-x)^{10}$的展开式中偶数项的二项式系数之和为$2^{9}$
D.$(3-x)^{10}$的展开式中二项式系数最大为$C_{10}^{5}3^{5}x^{5}$

答案： 9.ABC 解析：对于A，令x=0，可得$a_0=3^{10}.$故A正确.对于B，$(3-x)^{10}$的展开式的通项为$T_{r+1}=C_{10}^r3^{10-r}· (-x)^r=C_{10}^r3^{10-r}(-1)^rx^r，$r=0,1,2,· · ·,10，所以系数$a_r=C_{10}^r3^{10-r}(-1)^r，$r=0,1,2,· · ·,10.所以$\vert a_0\vert +\vert a_1\vert +\vert a_2\vert +· · · +\vert a_9\vert +\vert a_{10}\vert =a_0-a_1+a_2-a_3+· · ·+a_{10}.$对于$(3-x)^{10}=a_0+a_1x+a_2x^2+· · ·+a_{10}x^{10}，$令x=-1，可得$a_0-a_1+a_2-a_3+· · ·+a_{10}=(3+1)^{10}=4^{10}，$所以$\vert a_0\vert +\vert a_1\vert +\vert a_2\vert +· · ·+\vert a_9\vert +\vert a_{10}\vert =4^{10}.$故B正确.对于C，易知$(3-x)^{10}$的展开式中偶数项的二项式系数之和为$2^9.$故C正确.对于D，因为n=10，为偶数，所以$(3-x)^{10}$的展开式中二项式系数最大项为第6项，即$T_6=-C_{10}^53^5x^5.$故D错误.综上所述，选项ABC符合题意.

10. 关于$[2(x-\frac{1}{x})+1]^{5}$的展开式，下列结论正确的是 (AD)

A.各项系数之和为1
B.存在无理项
C.常数项为400
D.$x^{3}$的系数为$-80$

答案： 10.AD 解析：$[2(x-\frac{1}{x})+1]^5$的展开式的通项为$a_{k,r}=C_5^k(2x)^k· C_{5-k}^r(-\frac{2}{x})^r· 1^{5-k-r}(k,r\in N,k+r\le 5)，$即$a_{k,r}=(-1)^r· 2^{k+r}· C_5^k· C_{5-k}^r· x^{k-r}.$对于A，令x=1，则$[2(x-\frac{1}{x})+1]^5=1，$所以各项系数之和为1.故A正确.对于B，因为在展开式的通项中，$k,r\in N，$所以不存在无理项.故B错误.对于C，常数项中x的次数为0，则k=r=0或k=r=1或k=r=2，所以$a_{0,0}+a_{1,1}+a_{2,2}=1+(-80)+480=401.$故C错误.对于D，$x^3$的系数为$a_{3,0}$与$a_{4,1}$的系数之和，即为$2^3× C_5^3× C_2^0+(-1)^1× 2^5× C_5^4× C_1^1=80-160=-80.$故D正确.综上所述，选项AD符合题意.

11. 某校开设了八大类校本课程，具体为学科拓展(X)、体艺特长(T)、实践创新(S)、生涯规划(C)、国际视野(I)、公民素养(G)、大学先修(D)、PBL项目课程(P)八大类，该校每天开设一类课程且不重复.若连续开设八天，则下列说法正确的是 (ABD)

A.某学生从中选三类，共有56种选法
B.课程“X”“T”排在不相邻的两天，共有$A_{6}^{6}A_{7}^{2}$种排法
C.课程“S”“C”“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排法
D.课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有$(A_{7}^{7}+C_{6}^{1}C_{6}^{1}A_{6}^{6})$种排法

答案： 11.ABD 解析：对于A，某学生从中选三类，共有$C_8^3=56($种)选法.故A正确.对于B，若“X”“T”不相邻，剩余六类的排法种数为$A_6^6，$形成7个空，则将“X”“T”填入7个空的排法种数为$A_7^2，$所以共有$A_6^6A_7^2$种排法.故B正确.对于C，先排“S”“C”“T”三类，有2种排法，将这三类看成整体与剩余五类再进行全排列，有$A_6^6$种排法，所以共有$2A_6^6=1440($种)排法.故C错误.对于D，分成两类情况，一是“G”排在第一天，有$A_7^7$种排法，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天、“T”不排在第一天，有$C_6^1C_6^1A_6^6$种排法，则共有$(A_7^7+C_6^1C_6^1A_6^6)$种排法.故D正确.综上所述，选项ABD符合题意.

12. 书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为336(用数字作答).

答案： 12.336 解析：根据题意，分三步进行分析：第一步，先插入第一本，插到由原来5本不同的书排成一排所形成的6个间隔中，有6种情况；第二步，插入第二本，插到由6本不同的书排成一排所形成的7个间隔中，有7种情况；第三步，最后插入第三本，插到由7本不同的书排成一排所形成的8个间隔中，有8种情况.根据分步乘法计数原理可知，不同的插法种数为6×7×8=336.

13. 已知$n\in N^{*},3^{0}C_{n}^{1}+3^{2}C_{n}^{3}+3^{3}C_{n}^{3}+·s+3^{n-1}C_{n}^{n}=85$，则$n=$4.

答案： 13.4 解析：因为$3^0C_n^0+3^1C_n^1+3^2C_n^2+3^3C_n^3+· · ·+3^{n-1}C_n^{n-1}=\frac{1}{3}(C_n^0+3C_n^1+3^2C_n^2+3^3C_n^3+· · ·+3^nC_n^n-1)=\frac{1}{3}(4^n-1)，$所以$\frac{1}{3}(4^n-1)=85，$解得n=4.

14. 如图，在$4×4$方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有24种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是112.

答案： 14.24 112 解析：由题意，得选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1=24(种)选法.每种选法可记为(a,b,c,d)，a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数，则所有的可能结果为(11,22,33,44)，(11,22,34,43)，(11,22,33,44)，(11,22,34,42)，(11,24,33,42)，(11,24,33,42)，(12,21,33,44)，(12,21,34,43)，(12,22,31,44)，(12,22,34,40)，(12,24,31,43)，(12,24,33,40)，(13,21,33,44)，(13,21,34,42)，(13,22,31,44)，(13,22,34,40)，(13,24,31,42)，(13,24,33,40)，(15,21,33,43)，(15,21,33,42)，(15,22,31,43)，(15,22,33,40)，(15,22,31,42)，(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.