《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

18. (17分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中,则此人继续投篮;若未命中,则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲或乙的概率各为0.5.
(1) 求第2次投篮的人是乙的概率.
(2) 求第$ i $次投篮的人是甲的概率.
(3) 若随机变量$ X_{i} $服从两点分布,且$ P(X_{i}=1)=1 - P(X_{i}=0)=q_{i} $,$ i = 1,2,·s,n $,则$ E\left( \sum_{i = 1}^{n}X_{i} \right)=\sum_{i = 1}^{n}q_{i} $.记前$ n $次(即从第1次到第$ n $次)甲投篮的次数为$ Y $,求$ E(Y) $.

答案： 18.解：
(1)记“第$1$次投篮的人是甲”为事件$A$，“第$1$次投篮的人是乙”为事件$B_1$，“第$2$次投篮的人是乙”为事件$B_2$，则$P(B_2)=P(AB_2)+P(B_1B_2)=P(A)P(B_2|A)+P(B_1)P(B_2|B_1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6$.
(2)记“第$i$次投篮的人是甲”为事件$A_i$，“第$i$次投篮的人是乙”为事件$B_i$. 设$P(A_i)=p_i$，由题意可知，$P(B_i)=1-p_i$，则$P(A_{i+1})=P(A_iA_{i+1})+P(B_iA_{i+1})=P(A_i)· P(A_{i+1}|A_i)+P(B_i)P(A_{i+1}|B_i)=p_i·0.4+(1-0.8)×(1-p_i)=0.2p_i+0.2$，所以$p_{i+1}-\frac{1}{3}=\frac{2}{5}(p_i-\frac{1}{3})$. 又因为$p_1=\frac{1}{2}$，则$p_1-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，所以$\{p_i-\frac{1}{3}\}$是首项为$\frac{1}{6}$，公比为$\frac{2}{5}$的等比数列. 所以$p_i-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}×(\frac{2}{5})^{i-1}$，即$p_i=\frac{1}{6}×(\frac{2}{5})^{i-1}+\frac{1}{3}$，$i\in N^*$.
(3)设第$i$次投篮时甲投篮的次数为$X_i$，则$X_i$的所有可能取值为$0$或$1$. 当$X_i=0$时，表示第$i$次投篮的人是乙，当$X_i=1$时，表示第$i$次投篮的人是甲. 所以$P(X_i=1)=p_i$，$P(X_i=0)=1-p_i$，所以$E(X_i)=p_i$. 又$Y=X_1+X_2+X_3+·s+X_n$，则$E(Y)=E(X_1+X_2+X_3+·s+X_n)=p_1+p_2+p_3+·s+p_n$. 由
(2)知，$p_i=\frac{1}{6}×(\frac{2}{5})^{i-1}+\frac{1}{3}$，$i=1,2,·s,n,n\in N^*$，所以当$n\in N^*$时，$E(Y)=p_1+p_2+·s+p_n=\frac{1}{6}×\frac{1-(\frac{2}{5})^n}{1-\frac{2}{5}}+\frac{n}{3}=\frac{5}{18}[1-(\frac{2}{5})^n]+\frac{n}{3}$，$n\in N^*$.