《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

19. (17分)甲、乙两名同学参加一项射击比赛,已知甲、乙两人射击的命中率分别为$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{5}$,假设两人射击互不影响.
(1) 求两人各射击一次,至少有一人命中目标的概率.
(2) 两人各射击一次,在只有一人命中的条件下,求甲命中的概率.
(3) 甲参加射击训练,训练计划如下:甲先射击$ n $次($ n\in \mathrm{N}_{+} $,$ n\leqslant 33 $),若这$ n $次都命中,则训练结束;否则额外射击$(100 - 3n)$次.当$ n $为何值时,甲射击次数的期望最大?

答案： 19.解：
(1)设事件$M$为“甲射击命中目标”，事件$N$为“乙射击命中目标”. 由题意，得$P(M)=\frac{1}{2}$，$P(N)=\frac{3}{5}$，所以$P(\overline{M})=\frac{1}{2}$，$P(\overline{N})=\frac{2}{5}$. 因为两人射击互不影响，所以$P(M\overline{N})=P(M)P(\overline{N})=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$. 所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为$1-P(\overline{M}\overline{N})=1-\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$.
(2)设事件$A$为“两人各射击一次，只有一人命中目标”，事件$B$为“两人各射击一次，甲命中目标”. $P(A)=P(M)P(\overline{N})+P(\overline{M})P(N)=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{1}{2}$，$P(AB)=P(M)P(\overline{N})=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，所以所求概率为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}$.
(3)设甲射击的次数为$X$. $X$所有可能的取值为$n$，$100-2n$. $P(X=n)=(\frac{1}{2})^n$，$P(X=100-2n)=1-P(X=n)=1-(\frac{1}{2})^n$，所以$X$的分布列为
$X$ $n$ $100-2n$
$P$ $\frac{1}{2^n}$ $1-\frac{1}{2^n}$
$E(X)=\frac{n}{2^n}+(100-2n)(1-\frac{1}{2^n})=\frac{3n-100}{2^n}-2n+100$. 令$f(n)=\frac{3n-100}{2^n}-2n+100(n\in N^*)$，则$f(n+1)-f(n)=\frac{103-3n-2^{n+2}}{2^{n+1}}$. 因为$103-3n-2^{n+2}$单调递减，所以易知当$1\leq n\leq4$时，$f(n+1)＞f(n)$；当$n\geq5$时，$f(n+1)＜f(n)$. 又$f(4)=\frac{3×4-100}{2^4}-2×4+100=86.5$，$f(5)=\frac{3×5-100}{2^5}-2×5+100\approx87.3$，所以$f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＞f(6)＞f(7)＞·s$. 所以当$n=5$时，甲射击次数的期望最大.