搜索
2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
17. (15分)在二项式$(ax^{m}+bx^{n})^{15}(a＞0,b＞0,m\neq0,n\neq0)$中，有$2m+n=0$.
(1)求$(ax^{m}+bx^{n})^{15}$的展开式的常数项；
(2)若它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求$\frac{a}{b}$的取值范围.
(1)求$(ax^{m}+bx^{n})^{15}$的展开式的常数项；
(2)若它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求$\frac{a}{b}$的取值范围.
答案：
17.解：
(1)设$T_{k+1}=C_{15}^k(ax^m)^{15-k}(bx^n)^k=C_{15}^ka^{15-k}b^k· x^{m(15-k)+nk}$为常数项，则m(15-k)+nk=0.因为2m+n=0，即n=-2m，所以m(15-k)-2mk=0，即m(15-3k)=0，解得k=5.所以常数项为第6项，即为$T_6=C_{15}^5a^{10}b^5.(2)$由题意，得第6项是系数最大的项，所以$\begin{cases}C_{15}^5a^{10}b^5\ge C_{15}^4a^{11}b^4,\\C_{15}^5a^{10}b^5\ge C_{15}^6a^9b^6.\end{cases}$由①，得$\frac{15×14×13×12×11}{5×4×3×2×1}b\ge \frac{15×14×13×12}{4×3×2×1}a，$所以$\frac{a}{b}\le \frac{11}{5}.$由②，得$\frac{15×14×13×12×11}{5×4×3×2×1}a\ge \frac{15×14×13×12×11×10}{6×5×4×3×2×1}b，$所以$\frac{a}{b}\ge \frac{5}{3}.$所以$\frac{5}{3}\le \frac{a}{b}\le \frac{11}{5}，$即$\frac{a}{b}$的取值范围是$[\frac{5}{3},\frac{11}{5}].$
(1)设$T_{k+1}=C_{15}^k(ax^m)^{15-k}(bx^n)^k=C_{15}^ka^{15-k}b^k· x^{m(15-k)+nk}$为常数项，则m(15-k)+nk=0.因为2m+n=0，即n=-2m，所以m(15-k)-2mk=0，即m(15-3k)=0，解得k=5.所以常数项为第6项，即为$T_6=C_{15}^5a^{10}b^5.(2)$由题意，得第6项是系数最大的项，所以$\begin{cases}C_{15}^5a^{10}b^5\ge C_{15}^4a^{11}b^4,\\C_{15}^5a^{10}b^5\ge C_{15}^6a^9b^6.\end{cases}$由①，得$\frac{15×14×13×12×11}{5×4×3×2×1}b\ge \frac{15×14×13×12}{4×3×2×1}a，$所以$\frac{a}{b}\le \frac{11}{5}.$由②，得$\frac{15×14×13×12×11}{5×4×3×2×1}a\ge \frac{15×14×13×12×11×10}{6×5×4×3×2×1}b，$所以$\frac{a}{b}\ge \frac{5}{3}.$所以$\frac{5}{3}\le \frac{a}{b}\le \frac{11}{5}，$即$\frac{a}{b}$的取值范围是$[\frac{5}{3},\frac{11}{5}].$
查看更多完整答案，请扫码查看
