《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

19. (17分)药房里有若干味药.药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的3味药都恰好只包含在某一副药方中.
(1)药房中共有几味药?
(2)药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药.
①假设药房中有7味烈性药，求证：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；
②求证：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药.

答案： 19.解：
(1)设药房中共有n味药，则一共可形成$C_n^3$个“三药组”.因为每个“三药组”恰有一副药方包含它，22副药方中，每副药方可形成$C_5^3$个“三药组”，合计220个“三药组”，所以$C_n^3=220，$解得n=12.所以药房中共有12味药.
(2)证明：设药房中共有r味烈性药.假设每副药方中至多含有3味烈性药，不妨把1味烈性药+2味非烈性药称为“R-三药组”，则共有$C_r^1C_{12-r}^2$个“R-三药组”.因为每3味烈性药恰有一副药方包含它，所以有$C_r^3$副药方恰含有3味烈性药，每副这样的药方含有$C_3^3C_3^0=3($个)“R-三药组”，其余$(22-C_r^3)$副药方只含有1味或2味烈性药，它们中每一副都可形成$C_1^1C_2^2=6($个)或$C_2^2C_1^1=6($个)“R-三药组”.所以22副药方一共可形成$[3C_r^3+6(22-C_r^3)]$个“R-三药组”.所以$r^3-13r^2+67r=132.①$当r=7时，$r^3-13r^2+67r=175\ne 132，$即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药$.②r^3-13r^2+67r=132，$两边考虑都除以5，右侧余2.对于$r(r^2-13r+67)，$当r取0,1,2,3,4,5时，均不成立，即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立，所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药.