《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

7. 地铁的开通,在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后,某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本,分析其年龄和性别结构,得到如下信息:$35$岁及以下的市民中,男性约占$52\%$;$35$岁以上的市民中,男性约占$56\%$;男性市民中,$35$岁及以下的约占$43\%$;女性市民中,$35$岁及以下的约占$47\%$.根据以上信息,下列结论不正确的是 (C)

A.样本中男性比女性多
B.样本中多数女性是$35$岁以上
C.样本中$35$岁及以下的男性人数比$35$岁以上的女性人数多
D.样本中$35$岁以上的市民比$35$岁及以下的多

答案： 7.C 解析：设样本中35岁以上的人数为$x$，35岁及以下的人数为$y$，男性人数为$a$，女性人数为$b$.根据题意，得到如下两个$2 × 2$列联表(单位：人).
年龄
性别 35岁以上 35岁及以下 总计
男性 $0.56x$ $0.52y$ $0.56x+0.52y$
女性 $0.44x$ $0.48y$ $0.44x+0.48y$
总计 $x$ $y$ $x+y$
年龄
性别 35岁以上 35岁及以下 总计
男性 $0.57a$ $0.43a$ $a$
女性 $0.53b$ $0.47b$ $b$
总计 $0.57a+0.53b$ $0.43a+0.47b$ $a+b$
根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为$0.56x+0.52y$，女性市民人数为$0.44x+0.48y$.又$0.56x+0.52y＞0.44x+0.48y$，所以样本中男性比女性多.故A不符合题意.根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为$0.53b$，35岁及以下女性市民人数为$0.47b$，又$0.53b＞0.47b$，所以样本中多数女性是35岁以上.故B不符合题意.由题意，得$\frac{0.52y}{0.56x+0.52y}=0.43$，则$x \approx 1.231y$，所以$0.52y＜0.44x$.故C符合题意.根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为$0.57a+0.53b$，35岁及以下市民人数为$0.43a+0.47b$，又$0.57a+0.53b＞0.43a+0.47b$，所以样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多.故D不符合题意.故选C.

8. 已知由样本数据$(x_{i},y_{i})(i=1,2,3,·s,8)$组成的一个样本,得到经验回归方程为$\hat{y}=2x+0.25$,且$\overline{x}=1.5$,增加两个样本点$(-1,5)$和$(1,3)$,得到新样本的经验回归方程为$\hat{y}=1.5x+\hat{b}$.在新的经验回归方程中,当$x=1.5$时,$\hat{y}$的估计值为 (D)

A.$3.25$
B.$3.4$
C.$3.7$
D.$3.85$

答案： 8.D 解析：因为$\sum_{i=1}^{8}x_{i}=1.5 × 8=12$，所以增加两个样本点后$x$的平均数为$\frac{12+1+1}{10}=1.2$.因为$\bar{y}=2 × 1.5+0.25=3.25$，所以$\sum_{i=1}^{8}y_{i}=3.25 × 8=26$.所以增加两个样本点后$y$的平均数为$\frac{26+5+3}{10}=3.4$.因为新样本的经验回归方程为$\hat{y}=1.5x+b$，所以$3.4=1.5 × 1.2+b$，解得$b=1.6$.所以新的经验回归方程为$\hat{y}=1.5x+1.6$，则当$x=1.5$时，$\hat{y}=3.85$.故选D.

9. 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 (BD)

A.角度和它的余弦值
B.眼睛的近视程度与看手机的时间
C.正$n$边形的边数和内角和的度数
D.人的年龄和身高

答案： 9.BD 解析：角度$\alpha$和它的余弦值$\cos \alpha$满足函数关系$f(\alpha)=\cos \alpha$.故A是函数关系，不符合题意.眼睛的近视程度与看手机的时间没有确定的函数关系，可能有某种相关性.故B不是函数关系，符合题意.正$n$边形的边数$n$和内角和的度数满足函数关系$f(n)=(n-2)\pi$.故C是函数关系，不符合题意.人的年龄和身高没有确定的函数关系，有一定的相关性.故D不是函数关系，符合题意.综上所述，选项BD符合题意.

10. 为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联,小华进行了深入的调查,并绘制了如下所示的$2×2$列联表(单位:人,个别数据暂用字母表示):

经计算,得$\chi^{2}\approx1.315$,临界值如下表:

则下列结论正确的为 (ABD)

A.$m=43$
B.$b=79$
C.可以在犯错误的概率不超过$5\%$的前提下认为“数学成绩达到优秀等级与性别有关”
D.没有充分的证据显示“数学成绩达到优秀等级与性别有关”

答案： 10.ABD 解析：对于AB，由$2 × 2$列联表知，$m=70-27=43$，则$n=110-58=52$，故$b=27+n=79$，故AB正确；对于CD，由临界表可知，$\chi^{2} \approx 1.315＜2.706＜3.841$，则没有充分的证据显示“数学成绩达到优秀等级与性别有关”，故C错误，D正确.综上所述，选项ABD符合题意.