《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

10. 设随机变量$X\sim N(2,1^2)$,$Y\sim N(1,2^2)$,则下列结论正确的是 (AC)

A.$E(X)=2E(Y)$
B.$D(Y)=2D(X)$
C.$P(X\geq1)＞P(Y\geq1)$
D.$P(Y\geq3)＞P(X\geq3)$

答案： 10.AC 解析：对于A，由随机变量$X\sim N(2,1^{2})$，$Y\sim N(1,2^{2})$可知，$E(X)=2$，$D(X)=1$，$E(Y)=1$，$D(Y)=4$，则$E(X)=2E(Y)$成立，故A正确；对于B，$D(Y)=2D(X)$不成立，故B错误；对于C，由随机变量$X\sim N(2,1^{2})$，$Y\sim N(1,2^{2})$可知，$P(X\geq1)＞\frac{1}{2}$，$P(Y\geq1)=\frac{1}{2}$，则$P(X\geq1)＞P(Y\geq1)$成立，故C正确；对于D，由题意，得$P(X\geq3)=P(X\geq2+1)$，$P(Y\geq3)=P(Y\geq1+2)$，它们的临界值都是$\mu+\sigma$，则$P(Y\geq3)=P(X\geq3)$，故D错误.综上所述，选项AC符合题意.

11. “天宫课堂”是为发挥我国空间站的综合效益,推出的首个太空科普教育品牌.为了了解学生对“天宫课堂”的喜欢程度,某学校从全校学生中随机抽取200名进行问卷调查,得到数据如下表:

参考公式及数据:①$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,$n=a+b+c+d$;② 当$\alpha=0.1$时,$x_\alpha=2.706$.下列结论正确的是 (BD)

A.从这200名学生中任选1人,已知选到的是男生,则他喜欢“天宫课堂”的概率为$\frac{2}{5}$
B.用样本的频率估计概率,从全校学生中任选3人,恰有2人不喜欢“天宫课堂”的概率为$\frac{9}{64}$
C.对抽取的喜欢“天宫课堂”的学生进行天文知识测试,若男生的平均成绩为80分,女生的平均成绩为90分,则参加测试学生的平均成绩为85分
D.根据小概率值$\alpha=0.1$的独立性检验,认为喜欢“天宫课堂”与性别有关犯错误的概率超过0.1

答案： 11.BD 解析：对于A，从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢“天宫课堂”的概率为$\frac{80}{80+20}=\frac{4}{5}$．故A错误．对于B，因为样本中不喜欢“天宫课堂”的频率为$\frac{20+30}{200}=\frac{1}{4}$，所以从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢“天宫课堂”的概率为$C_{3}^{2}×(\frac{1}{4})^{2}×(1-\frac{1}{4})=\frac{9}{64}$．故B正确．对于C，因为在抽取的喜欢“天宫课堂”的学生中，男、女生人数分别为80，70，男生的平均成绩为80分，女生的平均成绩为90分，所以参加测试学生的平均成绩为$\frac{80×80+70×90}{80+70}=\frac{254}{3}$(分)．故C错误．对于D，零假设为$H_{0}$：喜欢“天宫课堂”与性别无关．因为$\chi^{2}=\frac{200×(80×30-70×20)^{2}}{100×100×150×50}\approx2.667＜2.706=x_{0.1}$，所以根据小概率值$\alpha=0.1$的独立性检验，认为喜欢“天宫课堂”与性别有关犯错误的概率超过0.1．故D正确．综上所述，选项BD符合题意.

12. 在研究线性回归模型时,样本数据$(x_i,y_i)(i=1,2,3,·s,n)$所对应的点均在直线$y=-\frac{2}{3}x+1$上,用$r$表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度,则$r=$-1 .

答案： 12.-1 解析：由样本数据$(x_{i},y_{i})(i=1,2,3,·s,n)$所对应的点均在直线$y=-\frac{2}{3}x+1$上，可得$|r|=1$，又$-\frac{2}{3}＜0$，所以满足负相关，即$r=-1$.

13. 某学校举办家长开放日,欢迎家长参加活动,小明母亲参加活动的概率为$\frac{4}{5}$.若母亲参加,则父亲参加的概率为$\frac{3}{10}$;若母亲不参加,则父亲参加的概率为$\frac{9}{10}$.小明父亲参加活动的概率为$\frac{21}{50}$ ;在已知小明父亲参加活动的条件下,小明母亲参加的概率为$\frac{4}{7}$ .

答案： 13.$\frac{21}{50}\frac{4}{7}$ 解析：设A=“小明母亲参加活动”，B=“小明父亲参加活动”.由题意，得$P(A)=\frac{4}{5}$，$P(\overline{A})=\frac{1}{5}$，$P(B|A)=\frac{3}{10}$，$P(B|\overline{A})=\frac{9}{10}$，所以$P(B)=P(B|A)· P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})=\frac{3}{10}×\frac{4}{9}×\frac{1}{5}=\frac{21}{50}$．因为$P(AB)=P(B|A)· P(A)=\frac{3}{10}×\frac{4}{5}=\frac{6}{25}$，所以$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{6}{25}}{\frac{21}{50}}=\frac{4}{7}$.