《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

15. (13分)已知$(x-\frac{2}{\sqrt[3]{x}})^{n}$的展开式中各项的二项式系数之和为64.求：
(1)展开式中所有项的系数之和；
(2)展开式中系数最大的有理项.

答案： 15.解：
(1)由题意，得2^n=64，解得n=6，所以展开式中所有项的系数之和为$(1-2)^6=1.(2)(x-\frac{2}{\sqrt[3]{x}})^6$的展开式的通项为$T_{k+1}=C_6^k· x^{6-k}· (-\frac{2}{\sqrt[3]{x}})^k=C_6^k· (-2)^k· x^{6-\frac{4k}{3}}(0\le k\le 6,k\in N).$令$6-\frac{4}{3}k\in Z，$可得$k\in \{0,3,6\}.$当k=0时，$T_1=x^6；$当k=3时，$T_4=-160x^2；$当k=6时，$T_7=64x^{-2}.$所以展开式中系数最大的有理项为$64x^{-2}.$

16. (15分)已知$m,n\in N^{*},f(x)=(1+x)^{m}+(1+x)^{n}$的展开式中含$x$项的系数为5，含$x^{2}$项的系数为4，求$f(0.003)$的近似值(结果精确到0.01).

答案： 16.解：(1+x)^n的展开式的通项为$T_{k+1}=C_n^kx^k，$$0\le k\le n，$且$k\in N.$因为f(x)的展开式中含x项的系数为5，含$x^2$项的系数为4，所以$C_m^1+C_n^1=5，$即m+n=5①；$C_m^2+C_n^2=\frac{m(m-1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{m^2+n^2-m-n}{2}=4②.$联立①②，解得$\begin{cases}m=2,\\n=3.\end{cases}$或$\begin{cases}m=3,\\n=2.\end{cases}$所以$f(x)=(1+x)^3+(1+x)^2.$所以$f(0.003)=(1+0.003)^3+(1+0.003)^2\approx C_3^0+C_3^1× 0.003+C_2^0+C_2^1× 0.003\approx 2.02.$