《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 已知$ X\sim N(\mu,\sigma^{2}) $,$ P(X ＞ -1)+P(X\geqslant 3)=1 $,且$ P(x ＜ -2)=0.2 $,则$ P(-2\leqslant x\leqslant 4) $等于(A)

A.0.6
B.0.4
C.0.8
D.0.2

答案： 1.A 解析：因为$P(X＞-1)+P(X\geq3)=1$，所以易得$P(X\geq3)=P(X\leq-1)$. 所以$\mu=\frac{-1+3}{2}=1$. 又因为$P(X＜-2)=0.2$，所以$P(-2\leq x\leq4)=1-2P(X＜-2)=1-2×0.2=0.6$. 故选A.

2. 设随机变量$ X $的分布列$ P(X = k)=\frac{m}{4k^{2}-1}(k = 1,2,3,4,5) $,则$ P(X\geqslant 4) $等于(A)

A.$\frac{2}{35}$
B.$\frac{3}{25}$
C.$\frac{22}{25}$
D.$\frac{33}{35}$

答案： 2.A 解析：$P(X=k)=\frac{m}{4k^2-1}=\frac{m}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{m}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$. 因为$\sum_{k=1}^{5}P(X=k)=1$，所以$\frac{m}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11})=\frac{5m}{11}=1$，则$m=\frac{11}{5}$. 所以$P(X\geq4)=\frac{11}{10}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11})=\frac{2}{35}$. 故选A.

3. 设$ 1 ＜ a ＜ 2 $,且随机变量$ X $的分布列为

当$ a $在区间$(1,2)$内增大时,$ D(X) $(A)

A.先减小后增大
B.先增大后减小
C.增大
D.减小

答案： 3.A 解析：根据题意，得$E(X)=1×\frac{1}{3}+a×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{3}=1+\frac{a}{3}$，方差$D(X)=(1+\frac{a}{3}-1)^2×\frac{1}{3}+(1+\frac{a}{3}-a)^2×\frac{1}{3}+(1+\frac{a}{3}-2)^2×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}(a-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{6}$，该二次函数图象的对称轴为直线$a=\frac{3}{2}$，开口向上，所以当$a$在区间$(1,2)$内增大时，$D(X)$先减小后增大. 故选A.

4. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有三道抢答题,比赛规定:对于每一道题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得$-1$分).若$ X $是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则$ X $的所有可能取值之和是(C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 4.C 解析：若甲抢到一题但答错，乙抢到两题都答错，则$X=-1$；若甲没抢到题，乙抢到三题但答错两题或全错、甲抢到两题，一对一错，乙抢到一题但答错，则$X=0$；若甲抢到一题并答对，乙抢到两题一对一错或全错、甲抢到三题，两对一错，则$X=1$；若甲抢到两题并答对，则$X=2$；若甲抢到三题并答对，则$X=3$. 所以$X$的所有可能取值之和为$-1+0+1+2+3=5$. 故选C.

5. 在孟德尔豌豆试验中,子二代的基因型为$ DD $,$ Dd $,$ dd $(其中$ D $为显性基因,$ d $为隐性基因,生物学中将$ Dd $和$ dD $统一记为$ Dd $),且这三种基因型之比为$ 1:2:1 $.如果在子二代中任意选取2颗豌豆进行杂交试验,那么子三代中基因型为$ DD $的概率是(D)

A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{3}{16}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 5.D 解析：记事件$B$为“子三代中基因型为$DD$”，事件$A_1$为“选择的是$Dd$，$Dd$”，事件$A_2$为“选择的是$DD$，$DD$”，事件$A_3$为“选择的是$DD$，$Dd$”，则$P(A_1)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，$P(A_2)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$，$P(A_3)=2×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. 在子二代中任取$2$颗豌豆作为父本、母本杂交，分以下三种情况讨论：①若选择的是$Dd$，$Dd$，则子三代中基因型为$DD$的概率为$P(B|A_1)=\frac{1}{4}$；②若选择的是$DD$，$DD$，则子三代中基因型为$DD$的概率为$P(B|A_2)=1$；③若选择的是$DD$，$Dd$，则子三代中基因型为$DD$的概率为$P(B|A_3)=\frac{1}{2}$. 综上所述，$P(B)=P(A_1)· P(B|A_1)+P(A_2)· P(B|A_2)+P(A_3)· P(B|A_3)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{16}×1+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. 因此，子三代中基因型为$DD$的概率是$\frac{1}{4}$. 故选D.

6. 某地区内猫的寿命超过12岁的概率为$ p $,超过16岁的概率为0.15,且一只寿命超过12岁的猫的寿命超过16岁的概率为$\frac{1}{6}$.从该地区内任选两只猫,则至少有一只猫的寿命超过12岁的概率为(D)

A.0.88
B.0.9
C.0.96
D.0.99

答案： 6.D 解析：设“猫的寿命超过$12$岁”为事件$A$，“猫的寿命超过$16$岁”为事件$B$. 根据题意，得$P(AB)=P(B)=0.15$，则一只寿命超过$12$岁的猫的寿命超过$16$岁的概率$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0.15}{p}=\frac{1}{6}$，所以$p=0.9$. 所以从该地区内任选两只猫，则至少有一只猫的寿命超过$12$岁的概率为$1-(1-0.9)^2=0.99$. 故选D.

7. 袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球,从中任取2个球,那么下列事件发生的概率为$\frac{7}{10}$的是(D)

A.都不是白球
B.恰有1个白球
C.至少有1个白球
D.至多有1个白球

答案： 7.D 解析：根据题意，得$P(都不是白球)=\frac{C_8^2}{C_{10}^2}=\frac{1}{10}$，$P(恰有1个白球)=\frac{C_8^1C_2^1}{C_{10}^2}=\frac{3}{5}$，$P(至少有1个白球)=\frac{C_8^1C_2^1+C_2^2}{C_{10}^2}=\frac{9}{10}$，$P(至多有1个白球)=\frac{C_8^2+C_8^1C_2^1}{C_{10}^2}=\frac{7}{10}$. 故选D.