《2025年5年高考3年模拟高中物理选择性必修第三册人教版江苏专版》

16.(16分)碳$-14(_{6}^{14} C)$是碳$-12(_{6}^{12} C)$的一种同位素,具有放射性。如图甲是一个粒子检测装置的示意图,图乙为其俯视图,粒子源释放出经电离后的碳-14与碳-12原子核(初速度忽略不计),经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN进入通道,该通道的上下表面是内半径为R、外半径为3R的半圆环,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于半圆环,正对着通道出口处放置一张照相底片,能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为$U_0$时,碳-12原子核恰好能击中照相底片的正中间位置,则:


(1)碳-14具有放射性,会发生$\beta$衰变,请写出它的衰变方程,并计算碳-12原子核的比荷;
(2)照相底片上碳-14与碳-12原子核所击中位置间的距离(结果用根号表示);
(3)若加速电压在$\frac{U_0}{16}\leq U\leq\frac{9U_0}{16}$之间变化,求碳-12原子核在磁场中运动的最短时间。

答案：
16.答案
(1)$_{6}^{14} C\to_{7}^{14} N+_{-1}^{0} e$ $\frac{U_0}{2R^{2}B^{2}}$
(2)$(\frac{2\sqrt{42}}{3}-4)R$
(3)$\frac{4\pi R^{2}B}{3U_0}$
解析
(1)碳14衰变成为氮14的过程，会放出β射线，其衰变方程为$_{6}^{14} C\to_{7}^{14} N+_{-1}^{0} e$
由题意可知当碳 - 12恰好能击中照相底片的正中间位置时，其运动半径为$r_1 = R + R = 2R$
设碳 - 12经过加速后获得的速度大小为$v_1$，根据动能定理有$qU_0=\frac{1}{2}mv_1^{2}$
根据牛顿第二定律有$qv_1B = m\frac{v_1^{2}}{r_1}$
联立解得$2R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}$，$\frac{q}{m}=\frac{U_0}{2R^{2}B^{2}}$
(2)设碳 - 14粒子经过加速后获得的速度大小为$v_2$，根据动能定理有$qU_0=\frac{1}{2}mv_2^{2}$，$qU_0=\frac{1}{2}×\frac{7}{6}mv_2^{2}$
根据牛顿第二定律有$qv_2B = m\frac{v_2^{2}}{r_2}$，$qv_2B=\frac{7}{6}m\frac{v_2^{2}}{r_2}$
又因为$r_1 = 2R$，联立解得$r_2=\frac{\sqrt{42}}{3}R$
则照相底片上碳 - 12和碳 - 14所击中位置间的距离为
$\Delta x = 2r_2 - 2r_1 = (\frac{2\sqrt{42}}{3}-4)R$
(3)粒子在磁场中做圆周运动的半径与加速电压和比荷的关系为$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$
若$\frac{U_0}{16}\leq U\leq\frac{9U_0}{16}$，碳 - 12粒子的轨迹半径范围为$\frac{R}{2}\leq r\leq\frac{3R}{2}$
粒子打在内圆环上，设轨迹与内圆环交于C点，如图所示，当$MC\perp CO$时，圆弧$MC$对应的圆心角$\theta$最小，用时最短，
　　　　　　　　
则由几何关系得$\theta_{min}=\frac{2\pi}{3}$，
且由洛伦兹力提供向心力有$T=\frac{2\pi m}{qB}$
则$t_{min}=\frac{T}{3}=\frac{4\pi R^{2}B}{3U_0}$。