《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

例 2 (2024 山东青岛期中)圆锥摆是我们在研究生活中的圆周运动时常遇到的一类物理模型。如图甲所示，两根长度相同的轻质细线$L_{1}$和$L_{2}$分别系有两个小球$m_{1}$和$m_{2}$，二者质量相等，细线的上端都系于$O$点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知$L_{1}$与竖直方向的夹角为$60^{\circ}$，$L_{2}$与竖直方向的夹角为$30^{\circ}$。若将连接小球$m_{2}$的轻质细线$L_{2}$直接系于小球$m_{1}$，则可以得到如图乙所示的小角度的圆锥摆模型，两球将各在一个水平面内做匀速圆周运动，处于相对静止状态，细线$L_{1}$和$L_{2}$与竖直方向的夹角分别为$\beta$、$\theta$。求：
(1)图甲中$m_{1}$和$m_{2}$两小球的角速度之比。
(2)当$\alpha$非常小时，有$\tan\alpha=\sin\alpha$，求图乙中$\frac{\tan\beta}{\tan\theta}$的值。

答案： 分析与解
(1)以小球为研究对象，根据牛顿第二定律，得
$mg\tan\theta' = m\omega^{2}L\sin\theta'$，
解得$\omega=\sqrt{\frac{g}{L\cos\theta'}}$，
则题图甲中$m_{1}$和$m_{2}$两小球的角速度之比为
$\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\sqrt{\frac{\cos30^{\circ}}{\cos60^{\circ}}}=\sqrt{3}$。
(2)两球相对静止做稳定的匀速圆周运动时，每转一圈需要的时间相同，则角速度相等，设为$\omega$，设细线$L_{1}$、$L_{2}$的长度均为$L$，拉力分别$T_{1}$、$T_{2}$，两球的质量均为$m$，以$m_{1}$、$m_{2}$两球为整体进行受力分析，把$T_{1}$分别沿水平方向和竖直方向分解，则由平衡条件和牛顿第二定律，有
$T_{1}\cos\beta = 2mg$，
$T_{1}\sin\beta = m\omega^{2}L(\sin\beta+\sin\theta)+m\omega^{2}L\sin\beta$，
对$m_{2}$球进行受力分析，把$T_{2}$分别沿水平方向和竖直方向分解，则由平衡条件和牛顿第二定律，有
$T_{2}\cos\theta = mg$，
$T_{2}\sin\theta = m\omega^{2}L(\sin\beta+\sin\theta)$，
联立以上各式可得
$\tan\beta=\frac{\omega^{2}L(2\sin\beta+\sin\theta)}{2g}$，
$\tan\theta=\frac{\omega^{2}L(\sin\beta+\sin\theta)}{g}$，
可得$\frac{\tan\beta}{\tan\theta}=\frac{2\sin\beta+\sin\theta}{2\sin\beta+2\sin\theta}=\frac{2\tan\beta+\tan\theta}{2\tan\beta+2\tan\theta}$，
解得$\frac{\tan\beta}{\tan\theta}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案
(1)$\sqrt{3}$
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$