《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

例 2 (2024 河南郑州质检)如图所示，$BD$为斜面顶端的水平边沿，子弹从斜面最低点$A$处以速度$v_{0}$射出，经过一段时间恰好水平击中$D$点，不计空气阻力，已知斜面的倾角为$30^{\circ}$，重力加速度为$g$，$AB$长度$x_{AB}=a$，$BD$长度$x_{BD}=\frac{\sqrt{13}}{2}a$，求：

(1)子弹射出到水平击中$D$点所用时间。
(2)枪口瞄准点$C$距离$D$点的高度($C$点在$D$点的正上方)。
(3)子弹经过$D$点的速度大小。

答案：
分析与解
(1)如图所示，$F$点是$D$点在水平面的投影点，$DE// BA$，由题意，根据几何关系可得

$x_{DE}=x_{AB}=a$，
则$x_{DF}=x_{BG}=\frac{a}{2}=\frac{1}{2}gt^{2}$，
解得$t=\sqrt{\frac{a}{g}}$。
(2)根据几何关系可得
$x_{EF}=x_{AG}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，又$EF\perp AE$，则$x_{AF}=\sqrt{x_{EF}^{2}+x_{AE}^{2}} = 2a$，
设$AC$与$AF$之间的夹角为$\alpha$，由运动学公式可得
$0 = v_{0}\sin\alpha - gt$，
$x_{AF}=v_{0}\cos\alpha· t$，
解得$\tan\alpha=\frac{gt^{2}}{2a}$，
由
(1)可知$t=\sqrt{\frac{a}{g}}$，
解得$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，
又$\tan\alpha=\frac{x_{CF}}{x_{AF}}=\frac{x_{CF}}{2a}$，
解得$x_{CF}=a$，
故枪口瞄准点$C$距离$D$点的高度$x_{CD}=x_{DF}=\frac{a}{2}$。
(3)由上述分析可知$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，由数学知识可得
$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故子弹经过$D$点的速度大小$v_{D}=v_{0}\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}v_{0}$。
另解：本题也可以利用逆向思维，将子弹的运动看成逆向平抛运动，根据平抛运动的推论$\tan\alpha = 2\tan\theta$，又$x_{DE}=x_{AB}=a$，则$AD$与$AF$所成角度即为位移偏向角$\theta$，且$\tan\theta=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{4}$，则$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，又$\tan\alpha=\frac{x_{CF}}{x_{AF}}=\frac{x_{CF}}{2a}$，故$x_{CF}=a$，$x_{CD}=x_{DF}=\frac{a}{2}$。
答案
(1)$\sqrt{\frac{a}{g}}$
(2)$\frac{a}{2}$
(3)$\frac{2\sqrt{5}}{5}v_{0}$