《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

1. (2024 山东济宁期中)探月工程“嫦娥四号”任务“鹊桥”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日 L₂ 点的 Halo 使命轨道的卫星，为地月信息联通搭建“天桥”。如图所示，该 L₂ 点位于地球与月球连线的延长线上，“鹊桥”位于该点，与月球同步绕地球做圆周运动。已知地球、月球和“鹊桥”的质量分别为 Mₑ、Mm、m，地球和月球之间的平均距离为 R，L₂ 点离月球的距离为 x，不计“鹊桥”对月球的影响，则 ( )

A.月球的线速度大于“鹊桥”的线速度
B.“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
C.x 满足 $\frac{M_{e}}{(R + x)^{2}} + \frac{M_{m}}{x^{2}} = \frac{M_{e}}{R^{3}}(R + x)$
D.x 满足 $\frac{M_{e}}{(R + x)^{2}} + \frac{M_{m}}{x^{2}} = \frac{M_{e}}{R^{3}}(R + x)$

答案： 1. D “鹊桥”的角速度等于月球的角速度，根据 $v = \omega r$，由于“鹊桥”的轨道半径大于月球的轨道半径，可知“鹊桥”的线速度大于月球的线速度，故 A 错误；根据 $a = \omega^{2}r$，可知“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度，故 B 错误；“鹊桥”绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力和月球引力共同提供，则由牛顿第二定律，有 $\frac{GM_{e}m}{(R + x)^{2}} + \frac{GM_{m}m}{x^{2}} = m\omega^{2}(R + x)$，月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，则由牛顿第二定律，有 $\frac{GM_{e}M_{m}}{R^{2}} = M_{m}\omega^{2}R$，联立可得 $\frac{M_{e}}{(R + x)^{2}} + \frac{M_{m}}{x^{2}} = \frac{M_{e}}{R^{3}}(R + x)$，故 C 错误，D 正确.

2. (2024 安徽亳州五校期中联考)中国科幻大片《流浪地球 2》中描述的“太空电梯”让人印象深刻。科学家们在地球同步轨道上建造了一个空间站，再用超级缆绳连接地球赤道上的固定基地，通过超级缆绳承载太空电梯，使轿厢沿绳索从地球基地直入太空，而向空间站运送货物。原理如图甲所示，图中的太空电梯正停在离地面高 R 处的站点修整，并利用太阳能给蓄电池充电。图乙中 r 为货物到地心的距离，R 为地球半径，曲线 A 为地球引力对货物产生的加速度大小与 r 的关系；直线 B 为货物由于地球自转而产生的向心加速度大小与 r 的关系。关于相对地面静止在不同高度的电梯中货物，下列说法正确的有 (C)

A.货物的线速度随着 r 的增大而减小
B.货物在 r = R 处的线速度等于第一宇宙速度
C.地球自转的周期 $T = 2π\sqrt{\frac{r_{0}}{a_{0}}}$
D.图甲中质量为 m 的货物对电梯底板的压力大小为 $\frac{mg_{0}}{4} - \frac{2mr_{0}a_{0}}{R}$

答案： 2. C 相对地面静止在不同高度的货物，角速度相同，都等于地球的自转角速度，货物的线速度 $v = r\omega$，随着 $r$ 增大线速度 $v$ 增大，故 A 错误；货物在 $r = R$ 处是在地面上，除了受到万有引力还受到地面的支持力，线速度远小于第一宇宙速度，故 B 错误；图乙中图线的交点表示万有引力产生的加速度和地球自转产生的加速度相等，又静止卫星的角速度与地球自转角速度相同，因此交点的横坐标 $r_{0}$ 表示静止卫星所在的轨道半径，$a_{0} = \omega^{2}r_{0} = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}r_{0}$，解得周期 $T = 2\pi\sqrt{\frac{r_{0}}{a_{0}}}$，故 C 正确；在地球极地表面 $m_{0}g_{0} = G\frac{Mm_{0}}{R^{2}}$，解得地球质量 $GM = g_{0}R^{2}$，设货物质量为 $m$，在距地面高 $R$ 站点受到的支持力为 $F_{N}$，此时货物绕地球做匀速圆周运动有 $F_{引} - F_{N} = m\omega^{2} × 2R$，即 $G\frac{Mm}{(2R)^{2}} - F_{N} = m\omega^{2} × 2R$，解得 $F_{N} = \frac{mg_{0}}{4} - \frac{2mRa_{0}}{r_{0}}$，根据牛顿第三定律，货物对电梯底板的压力 $F_{N1} = F_{N} = \frac{mg_{0}}{4} - \frac{2mRa_{0}}{r_{0}}$，故 D 错误.

3. (多选，2024 河南信阳月考)如图所示，北斗卫星导航系统中的一颗卫星 a 位于赤道上空，其对地张角为 60°。已知地球的半径为 R，自转周期为 T₀，表面的重力加速度为 g，引力常量为 G。根据题中条件，可求出 (BD)

A.地球的平均密度为 $\frac{3π}{GT_{0}^{2}}$
B.静止卫星的轨道半径为 $\sqrt[3]{\frac{gT_{0}^{2}R^{2}}{4π^{2}}}$
C.卫星 a 的周期为 $2π\sqrt{\frac{2R}{g}}$
D.a 与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通信的连续时间为 $\frac{8π\sqrt{2gR}}{3(2\sqrt{2} + 1)g}$

答案： 3. BD 在地球表面，万有引力近似等于重力，有 $mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$，地球的密度 $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}$，联立解得 $\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$，A 错误；对静止卫星，由万有引力提供向心力，有 $G\frac{Mm}{r_{0}^{2}} = m\frac{4\pi^{2}r_{0}}{T_{0}^{2}}$，结合上述解得 $r_{0} = \sqrt[3]{\frac{gT_{0}^{2}R^{2}}{4\pi^{2}}}$，B 正确；卫星 $a$ 的轨道半径 $r = \frac{R}{\sin\frac{60^{\circ}}{2}} = 2R$，根据开普勒第三定律，有 $\frac{r^{3}}{T^{2}} = \frac{r_{0}^{3}}{T_{0}^{2}}$，解得 $T = 4\pi\sqrt{\frac{2R}{g}}$，C 错误；对近地卫星，由万有引力提供向心力，有 $G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$，解得 $T_{1} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，设 $a$ 与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通信的连续时间为 $\Delta t$，则有 $\frac{2\pi}{T_{1}}\Delta t + \frac{2\pi}{T}\Delta t = 2\pi - \frac{2\pi}{3}$，解得 $\Delta t = \frac{8\pi\sqrt{2gR}}{3(2\sqrt{2} + 1)g}$，D 正确.