《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

例2 (2024重庆万州期中)如图甲所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点），球员顶点的高度为h，足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），重力加速度为g。

(1)求足球位移的大小。
(2)求足球末速度的大小。
(3)某学习小组将足球网改造成半圆弧，前网口在竖直平面上，上下最大高度差为2R，如图乙所示，小李同学将足球从前网口正中心垂直网口以速度v₀射入，重力加速度为g，当v₀取何值时，足球落到球网上的速度最小。

答案：
分析与解
(1)由题意可知，足球在水平方向上的位移大小为
x=$\sqrt{s^{2}+(\frac{L}{2})^{2}}$，
所以足球的位移大小为
l=$\sqrt{h^{2}+x^{2}}$=$\sqrt{h^{2}+s^{2}+\frac{L^{2}}{4}}$。
(2)由h=$\frac{1}{2}gt_{2}^{2}$，可得足球运动的时间为
t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
所以足球的初速度大小为
v_{02}=$\frac{x}{t_{2}}$=$\sqrt{\frac{g}{2h}(s^{2}+\frac{L^{2}}{4})}$，
足球落到P点时，竖直分速度为
v_{y2}=gt₂，
足球末速度的大小为
v₂=$\sqrt{v_{02}^{2}+v_{y2}^{2}}$，
联立以上各式解得v₂=$\sqrt{\frac{g}{2h}(s^{2}+\frac{L^{2}}{4})+2gh}$。
(3)设足球落到球网上的速度为v₃，平抛的位移与水平方向的夹角为θ，足球落在球网上的示意图如图所示，由几何关系并结合平抛运动规律，可得
x=Rcosθ=v₀t₃，
h=Rsinθ=$\frac{1}{2}gt_{3}^{2}$，
v_{y3}=gt₃，

联立解得v₀=$\frac{Rcosθ}{t_{3}}$=$\sqrt{\frac{gRcos^{2}θ}{2sinθ}}$，v_{y3}=gt₃=$\sqrt{2gRsinθ}$。
由矢量合成知识可得
v₃²=v₀²+v_{y3}²=$\frac{gR}{2}(\frac{1}{sinθ}+3sinθ)$，
由函数知识知，当sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，v₃取最小值，此时对应的初速度v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{3}gR}$。
答案
(1)$\sqrt{h^{2}+s^{2}+\frac{L^{2}}{4}}$
(2)$\sqrt{\frac{g}{2h}(s^{2}+\frac{L^{2}}{4})+2gh}$
(3)v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{3}gR}$