《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版巅峰版》

例1 （2024 浙江宁波期末）如图所示，轻杆长 $2l$，中点装在水平轴 $O$ 上，两端分别固定着小球 $A$ 和 $B$，$A$ 球质量为 $m$，$B$ 球质量为 $2m$，重力加速度为 $g$，两者一起在竖直平面内绕 $O$ 轴做圆周运动.
(1)若 $A$ 球在最高点时，杆的 $A$ 端恰好不受力，求此时 $B$ 球的速度大小.
(2)若 $B$ 球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时 $O$ 轴的受力大小、方向.
(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现 $O$ 轴恰好不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时 $A$、$B$ 球的速度大小.

答案： 分析与解
(1)$A$ 在最高点时，对 $A$，根据牛顿第二定律，得
$mg = m\frac{v_A^2}{l}$，
解得 $v_A = \sqrt{gl}$，
因为 $A$、$B$ 球的角速度相等，转动半径相等，可得
$v_B = v_A = \sqrt{gl}$.
(2)$B$ 在最高点时，对 $B$，根据牛顿第二定律，得
$2mg + F_{TOB}' = 2m\frac{v_B^2}{l}$，
代入
(1)中的 $v_B$，可得 $F_{TOB}' = 0$，
对 $A$，根据牛顿第二定律，得
$F_{TOA}' - mg = m\frac{v_A^2}{l}$，
解得 $F_{TOA}' = 2mg$，
根据牛顿第三定律，可知 $O$ 轴所受的力的大小为 $2mg$，方向竖直向下.
(3)要使 $O$ 轴不受力，根据 $B$ 的质量大于 $A$ 的质量，设 $A$、$B$ 的速度大小均为 $v$，可判断 $B$ 球应在最高点.
对 $B$，根据牛顿第二定律，得
$F_{TOB}'' + 2mg = 2m\frac{v^2}{l}$，
对 $A$，根据牛顿第二定律，得
$F_{TOA}'' - mg = m\frac{v^2}{l}$，
当 $O$ 轴不受力时，有
$F_{TOA}'' = F_{TOB}''$，
联立解得 $v = \sqrt{3gl}$，
故当 $A$、$B$ 球的速度大小为 $\sqrt{3gl}$ 时，$O$ 轴恰好不受力.
答案
(1)$\sqrt{gl}$
(2)$2mg$，方向竖直向下
(3)能；当 $A$、$B$ 球的速度大小为 $\sqrt{3gl}$ 时，$O$ 轴恰好不受力